Pour vérifier que l'on sait faire - Exercice 1

On a :
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \wedge Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}$$
Donc :
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & \neg Q & P \wedge \neg Q \\ \hline V & F & F \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline\end{array}$$
Dans cette dernière table de vérité, en remplaçant $$P$$ par $$R$$, on en déduit immédiatement que :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline R & \neg Q & R \wedge \neg Q & \neg \left( R \wedge \neg Q \right) \\ \hline V & F & F & V \\ \hline V & V & V & F \\ \hline F & F & F & V \\ \hline F & V & F & V\\ \hline\end{array}$$
On en déduit alors que :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & P \wedge \neg Q & \neg \left( R \wedge \neg Q \right) & \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge (\neg \left( R \wedge \neg Q )\right) \\ \hline V & V & V & F & V & F \\ \hline V & V & F & F & V & F \\ \hline V & F & V & V & F & F \\ \hline V & F & F & V & V & V \\ \hline F & V & V & F & V & F \\ \hline F & V & F & F & V & F \\ \hline F & F & V & F & F & F \\ \hline F & F & F & F & V & F \\ \hline \end{array}$$
Puis, on a également :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & Q \vee R & \neg \left( Q \vee R \right) & P \wedge (\neg \left( Q \vee R \right)) \\ \hline V & V & V & V & F & F \\ \hline V & V & F & V & F & F \\ \hline V & F & V & V & F & F \\ \hline V & F & F & F & V & V \\ \hline F & V & V & V & F & F \\ \hline F & V & F & V & F & F \\ \hline F & F & V & V & F & F \\ \hline F & F & F & F & V & F \\ \hline \end{array}$$
On a donc la table de vérité de synthèse suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge (\neg \left( R \wedge \neg Q )\right) & P \wedge (\neg \left( Q \vee R \right)) \\ \hline V & V & V & F & F \\ \hline V & V & F & F & F \\ \hline V & F & V & F & F \\ \hline V & F & F & V & V \\ \hline F & V & V & F & F \\ \hline F & V & F & F & F \\ \hline F & F & V & F & F \\ \hline F & F & F & F & F \\ \hline \end{array}$$
On constate que les deux dernières colonnes ont les mêmes vérités, donc elles sont équivalentes. On a donc :
$${\color{red}{\boxed{ \big( \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge (\neg \left( R \wedge \neg Q \right)) \big) \Longleftrightarrow \big( P \wedge ( \neg \left( Q \vee R \right) ) \big) }}}$$

On a :
$$\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge ( \neg \left( R \wedge \neg Q \right) ) \Longleftrightarrow \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge ( \neg R \vee \neg(\neg Q) )$$
Or on sait que $$\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$. Donc :
$$\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge ( \neg \left( R \wedge \neg Q \right) ) \Longleftrightarrow \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge ( \neg R \vee Q )$$
De plus, on a :
$$\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge ( \neg R \vee Q ) \Longleftrightarrow (\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge \neg R) \vee (\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge Q)$$
Mais on a :
$$(\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge \neg R) \vee (\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q \wedge \neg R) \vee (P \wedge \neg Q \wedge Q)$$
L'assertion $$\neg Q \wedge Q$$ est toujours fausse $$(F)$$, et de fait $$P \wedge \neg Q \wedge Q$$ sera donc, également, toujours fausse $$(F)$$.
Dans le cas de la disjonction logique (symbolisé par $$\vee$$), si dans la proposition $$X \vee Y$$ la seconde assertion $$Y$$ est de vérité fausse $$(F)$$ alors $$X \vee Y$$ à la même vérité que celle de la première assertion $$X$$. Donc, on en déduit alors que :
$$(\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge \neg R) \vee (\left( P \wedge \neg Q \right) \wedge Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q \wedge \neg R)$$
Avec :
$$(P \wedge \neg Q \wedge \neg R) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg(Q \vee R) )$$
Finalement, on a donc bien montré que :
$${\color{red}{\boxed{ \big( \left( P \wedge \neg Q \right) \wedge (\neg \left( R \wedge \neg Q \right)) \big) \Longleftrightarrow \big( P \wedge ( \neg \left( Q \vee R \right) ) \big) }}}$$
Dans cette question, on a fait usage exclusivement des lois de $$Morgan$$.