Langage de la logique et des ensembles

Pour bien réfléchir : Négation & Contraire - Exercice 1

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Cet exercice illustre la différence entre la négation et le contraire.
Question 1
On note par ξ\xi soit le quantificateur existentiel \exist ou universel \forall.
On considère l'assertion QQ suivante : ξxD,P(x)\xi x \in \mathcal{D}, \, P(x). La notation P(x)P(x) désigne une proposition qui dépend de xx.
On note l'assertion contraire par Q^\widehat{Q}, et sa définition est : ξxD,¬P(x)\xi x \in \mathcal{D}, \, \neg P(x).
On constate que Q^^Q\widehat{\widehat{Q}} \Longleftrightarrow Q.
On pose, dans cet exercice, QQ : tous les hommes sont mortels.

Traduire l'assertion QQ en langage de logique mathématique.

Correction
On a :
QQ : tous les hommes sont mortels.
Donc, mathématiquement, on a :
Q:xV,P(x)Q \, : \forall x \in \mathcal{V}, \, P(x)
avec :
x\bullet \,\, x est un homme ;
V\bullet \bullet \,\, \mathcal{V} est l'ensemble des hommes vivant ;
P(x)\bullet \bullet \bullet \,\, P(x) représente un homme mortel.
Ainsi, on a bien l'équivalence :
Q:xV,P(x)tousleshommessontmortels{\color{red}{\boxed{Q \, :\, \forall x \in \mathcal{V}, \, P(x) \Longleftrightarrow \bf{ tous \,\, les \,\, hommes \,\, sont \,\, mortels } }}}
Question 2

Donner la signification de Q^\widehat{Q}.

Correction
La signification de Q^\widehat{Q} est :
Q^:xV,¬P(x)tousleshommessontimmortels{\color{red}{\boxed{\widehat{Q} \, :\, \forall x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \Longleftrightarrow \bf{ tous \,\, les \,\, hommes \,\, sont \,\, immortels } }}}
Question 3

Donner la signification de ¬Q\neg Q.

Correction
La signification de ¬Q\neg Q est :
¬Q:xV,¬P(x)ilexistedeshommesquisontimmortels{\color{red}{\boxed{\neg Q \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \Longleftrightarrow \bf{ il \,\, existe \,\, des \,\, hommes \,\, qui \,\, sont \,\, immortels } }}}
Question 4

Donner la signification de ¬Q^\neg \widehat{Q}.

Correction
On a :
¬Q^:¬(xV,¬P(x))\neg \widehat{Q} \, :\, \neg \big( \forall x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \big)
Soit :
¬Q^:xV,¬(¬P(x))\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg (\neg P(x))
Or, on sait que ¬(¬P(x))P(x)\neg (\neg P(x)) \Longleftrightarrow P(x). Donc :
¬Q^:xV,P(x)\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x)
Ainsi, la signification de ¬Q^\neg \widehat{Q} est :
¬Q^:xV,P(x)ilexistedeshommesquisontmortels{\color{red}{\boxed{\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x) \Longleftrightarrow \bf{ il \,\, existe \,\, des \,\, hommes \,\, qui \,\, sont \,\, mortels } }}}
Question 5

Quel lien y-t-il entre ¬Q^\neg \widehat{Q} et ¬Q\neg Q ?

Correction
On constate que :
¬Q:xV,¬P(x)\bullet \,\, \neg Q \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x)
¬Q^:xV,P(x)\bullet \bullet \,\, \neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x)
Ainsi, on constate que :
¬Q^¬Q^\widehat{\neg Q} \Longleftrightarrow \neg \widehat{Q}
Autrement écrit :
¬Q¬Q^^\neg {Q} \Longleftrightarrow \widehat{\neg \widehat{Q}}
Finalement :
¬Qet¬Q^sontdesassertionscontraireslunedelautre{\color{red}{\boxed{\neg Q \,\, {\bf{et}} \,\, \neg \widehat{Q} \,\, \bf{ sont \,\, des \,\, assertions \,\, contraires \,\, l'une \,\, de \,\, l'autre } }}}
Remarque:lecarreˊdAristote{\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Remarque : le \,\, carré \,\, d'Aristote}}}
On appelle le carré d'Aristote(384322)avantJ.CAristote \,\, (384-322) \,\, avant \,\, J.C la figure suivante :
QQ^¬Q¬Q^\begin{array}{ccc} Q & \longleftrightarrow & \widehat{Q} \\ & & \\ \bigg\updownarrow & & \bigg\updownarrow \\ & & \\ \neg Q & \longleftrightarrow & \neg \widehat{Q} \\ \end{array}
Dans le sens horizontal c'est les contraires, et dans le sens vertical c'est les négations.