Logique assertionnelle - Exercice 1

On a, d'après la relation $${\color{red}{\bullet \bullet \,\, }}$$ de la partie cours :
$$(\neg P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (\neg(\neg P) \vee Q)$$
Mais comme $$\neg(\neg P) \Longleftrightarrow P$$, on en déduit donc que :
$${\color{red}{\boxed{ (\neg P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \vee Q)}}}$$

On a, d'après la relation $${\color{red}{\bullet \bullet \,\, }}$$ de la partie cours :
$$(Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow (\neg Q \vee P)$$
$$(\neg Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow (\neg(\neg Q) \vee P)$$
Mais comme $$\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$, on en déduit donc que :
$$(\neg Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow (Q \vee P)$$
Donc :
$$\left( ( Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \right) \Longleftrightarrow ( (\neg Q \vee P) \wedge (Q \vee P) )$$
Or, on a :
$$((\neg Q \vee P) \wedge (Q \vee P)) \Longleftrightarrow (\neg Q \wedge Q) \vee P$$
L'assertion $$\neg Q \wedge Q$$ est toujours fausse. Donc si $$P$$ est vraie, alors $$(\neg Q \wedge Q) \vee P$$ est vraie car $$(F \, ou \, V)$$ donne $$V$$. Donc, on peut écrire que :
$$(\neg Q \wedge Q) \vee P \Longleftrightarrow P$$
Et finalement :
$${\color{red}{\boxed{ P \Longleftrightarrow \left( ( Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \right) }}}$$

Partons de la relation de la question précédente, à savoir :
$$P \Longleftrightarrow \left( ( Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \right)$$
Puis, prenons la contraposée des deux assertions présentent à droite. On a alors :
$$\bullet \,\, ( Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow ( \neg P \Longrightarrow \neg Q)$$
$$\bullet \bullet \,\, ( \neg Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow ( \neg P \Longrightarrow \neg(\neg Q))$$
Cependant, on a $$\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$. Donc :
$$\bullet \bullet \,\, ( \neg Q \Longrightarrow P) \Longleftrightarrow ( \neg P \Longrightarrow Q)$$
On peut donc écrire que :
$$\left( ( Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \right) \Longleftrightarrow ((\neg Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg P \Longrightarrow Q) )$$
Pour deux assertions quelconques $$A$$ et $$B$$ on a $$A \wedge B \Longleftrightarrow B \wedge A$$. Donc :
$$((\neg Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg P \Longrightarrow Q) ) \Longleftrightarrow ( (\neg P \Longrightarrow Q) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P))$$
Ainsi :
$$\left( ( Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \right) \Longleftrightarrow ( (\neg P \Longrightarrow Q) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) )$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ P \Longleftrightarrow \left( ( \neg P \Longrightarrow Q) \wedge (\neg P \Longrightarrow \neg Q) \right) }}}$$

En faisant usage des lois de Morgan, on peut écrire que :
$$\left( \left( P \wedge \neg Q \right) \vee \left( P \wedge Q \right) \right) \Longleftrightarrow P \wedge (\neg Q \vee Q)$$
Cependant l'assertion $$\neg Q \vee Q$$ est toujours vraie. Donc $$P \wedge (\neg Q \vee Q)$$ est strictement équivalent à $$P$$.
Finalement, on a bien :
$${\color{red}{\boxed{ P \Longleftrightarrow \left( \left( P \wedge \neg Q \right) \vee \left( P \wedge Q \right) \right) }}}$$