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La fonction indicatrice - Exercice 1

45 min
70
La notion de fonction indicatrice.
Question 1
Soit AA une partie d'un ensemble EE. On appelle fonction  indicatrice{\color{red}{\bf{fonction \,\ indicatrice}}} de AA la fonction, notée 1A\mathbf{1}_A, de EE dans l'ensemble {0 ; 1}\{0 \,;\,1\}, qui est définie par :
∙  1A(x)=1{\color{red}{\bullet}} \,\, \mathbf{1}_A(x) = {\color{red}{1}} si x∈Ax \in A
∙∙  1A(x)=0{\color{red}{\bullet \bullet}} \,\, \mathbf{1}_A(x) = {\color{red}{0}} si x∉Ax \notin A
On considère AA et BB deux parties d'un même ensemble EE. Les fonctions indicatrices respectives sont notées 1A\mathbf{1}_A et 1B\mathbf{1}_B.
Pour démontrer que deux parties sont égales, on peut démontrer l'égalité de leurs fonctions indicatrices.

Quel est l'ensemble A1A_1 dont la fonction indicatrice est 1A1=1−1A\mathbf{1}_{A_1}= 1 - \mathbf{1}_A ?

Correction
Soit x∈Ex \in E.
Si x∈A‾x \in \overline{A} alors x∉Ax \notin A. De fait 1A(x)=0\mathbf{1}_A(x) = 0 et 1A‾(x)=1\mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 1.
Ensuite, 1−1A(x)=1−0=11 - \mathbf{1}_A(x) = 1 - 0 = 1
Si x∉A‾x \notin \overline{A} alors x∈Ax \in A. De fait 1A(x)=1\mathbf{1}_A(x) = 1 et 1A‾(x)=0\mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 0.
Ensuite, 1−1A(x)=1−1=01 - \mathbf{1}_A(x) = 1 - 1 = 0
On constate alors que ∀x∈E,  1A‾(x)=1−1A(x)\forall x \in E, \,\, \mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 1 - \mathbf{1}_A(x).
Finalement :
1−1A=1A‾{\color{red}{\boxed{1 - \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_{\overline{A}}}}}
Ainsi :
A1=A‾{\color{red}{\boxed{A_1 = \overline{A}}}}
Question 2

Quel est l'ensemble A2A_2 dont la fonction indicatrice est 1A2=1A×1B\mathbf{1}_{A_2} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B ?

Correction
Soit x∈Ex \in E.
Si x∈A∩Bx \in A \cap B alors x∈Ax \in A et x∈Bx \in B. De fait 1A(x)=1\mathbf{1}_A(x) = 1 et 1B(x)=1\mathbf{1}_B(x) = 1, donc 1A(x)×1B(x)=1×1=1\mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x) = 1 \times 1 = 1. De plus, on en déduit que 1A∩B(x)=1\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = 1.
Si x∉A∩Bx \notin A \cap B alors x∉Ax \notin A ou x∉Bx \notin B. De fait 1A(x)=1\mathbf{1}_A(x) = 1 et 1B(x)=1\mathbf{1}_B(x) = 1, donc 1A(x)×1B(x)=0×0=0\mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x) = 0 \times 0 = 0. De plus, on en déduit que 1A∩B(x)=0\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = 0.
On constate alors que ∀x∈E,  1A∩B(x)=1A(x)×1B(x)\forall x \in E, \,\, \mathbf{1}_{A \cap B}(x) = \mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x)
Finalement :
1A∩B=1A×1B{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
Ainsi :
A2=A∩B{\color{red}{\boxed{A_2 = A \cap B}}}
Question 3

Quel est l'ensemble A3A_3 dont la fonction indicatrice est 1A3=1A+1B−1A×1B\mathbf{1}_{A_3} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B ?

Correction
D'après les lois de MorganMorgan, on a :
A∪B=A∪B‾‾=A‾∩B‾‾A \cup B = \overline{\overline{A \cup B}} = \overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}
Donc :
1A∪B=1A‾∩B‾‾\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}}
D'après la première question, on a :
1A‾∩B‾‾=1−1A‾∩B‾\mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A} \cap {\overline{B}}}
D'après la deuxième question, on a :
1A‾∩B‾=1A‾×1B‾\mathbf{1}_{\overline{A} \cap {\overline{B}}} = \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
D'où :
1A‾∩B‾‾=1−1A‾×1B‾\mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
On en déduit donc que :
1A∪B=1−1A‾×1B‾\mathbf{1}_{A \cup B} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
Puis, avec la première question, on obtient :
1A∪B=1−(1−1A)×(1−1B)=1−1+1B+1A−1A1B\mathbf{1}_{A \cup B} = 1 - \big( 1 - \mathbf{1}_{A} \big) \times \big( 1 - \mathbf{1}_{B} \big) = 1 - 1 + \mathbf{1}_{B} + \mathbf{1}_{A}- \mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B}
Finalement :
1A∪B=1A+1B−1A×1B{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
Ainsi :
A3=A∪B{\color{red}{\boxed{A_3 = A \cup B}}}
Question 4

Quel est l'ensemble A4A_4 dont la fonction indicatrice est 1A4=1A−1A×1B\mathbf{1}_{A_4} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B ?

Correction
On sait que A∖B=A∩B‾A \setminus B = A \cap \overline{B}.
Donc, d'après la deuxième question, on en déduit que :
1A∖B=1A×1B‾\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_{\overline{B}}.
Mais d'après la première question, on a :
1A∖B=1A×(1−1B)\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A \times \big( 1 - \mathbf{1}_{B} \big).
En développant, on obtient finalement :
1A∖B=1A−1A×1B{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
Ainsi :
A4=A∖B{\color{red}{\boxed{A_4 = A \setminus B}}}
Question 5

Que vaut 1A2\mathbf{1}_A^2 ?

Correction
D'après la deuxième question, on sait que :
1A∩B=1A×1B\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B
Si B=AB = A alors on trouve que :
1A∩A=1A×1A\mathbf{1}_{A \cap A} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_A
Or, on sait que A∩A=AA \cap A = A. Donc :
1A=1A×1A\mathbf{1}_{A} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_A
Finalement :
1A=1A2{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A} = \mathbf{1}_A^2 }}}

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