Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Langage de la logique et des ensembles
La fonction indicatrice - Exercice 1
45 min
70
La notion de fonction indicatrice.
Question 1
Soit
A
A
A
une partie d'un ensemble
E
E
E
. On appelle
f
o
n
c
t
i
o
n
i
n
d
i
c
a
t
r
i
c
e
{\color{red}{\bf{fonction \,\ indicatrice}}}
fonction
indicatrice
de
A
A
A
la fonction, notée
1
A
\mathbf{1}_A
1
A
, de
E
E
E
dans l'ensemble
{
0
;
1
}
\{0 \,;\,1\}
{
0
;
1
}
, qui est définie par :
∙
1
A
(
x
)
=
1
{\color{red}{\bullet}} \,\, \mathbf{1}_A(x) = {\color{red}{1}}
∙
1
A
(
x
)
=
1
si
x
∈
A
x \in A
x
∈
A
∙
∙
1
A
(
x
)
=
0
{\color{red}{\bullet \bullet}} \,\, \mathbf{1}_A(x) = {\color{red}{0}}
∙
∙
1
A
(
x
)
=
0
si
x
∉
A
x \notin A
x
∈
/
A
On considère
A
A
A
et
B
B
B
deux parties d'un même ensemble
E
E
E
. Les fonctions indicatrices respectives sont notées
1
A
\mathbf{1}_A
1
A
et
1
B
\mathbf{1}_B
1
B
.
Pour démontrer que deux parties sont égales, on peut démontrer l'égalité de leurs fonctions indicatrices.
Quel est l'ensemble
A
1
A_1
A
1
dont la fonction indicatrice est
1
A
1
=
1
−
1
A
\mathbf{1}_{A_1}= 1 - \mathbf{1}_A
1
A
1
=
1
−
1
A
?
Correction
Soit
x
∈
E
x \in E
x
∈
E
.
Si
x
∈
A
‾
x \in \overline{A}
x
∈
A
alors
x
∉
A
x \notin A
x
∈
/
A
. De fait
1
A
(
x
)
=
0
\mathbf{1}_A(x) = 0
1
A
(
x
)
=
0
et
1
A
‾
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 1
1
A
(
x
)
=
1
.
Ensuite,
1
−
1
A
(
x
)
=
1
−
0
=
1
1 - \mathbf{1}_A(x) = 1 - 0 = 1
1
−
1
A
(
x
)
=
1
−
0
=
1
Si
x
∉
A
‾
x \notin \overline{A}
x
∈
/
A
alors
x
∈
A
x \in A
x
∈
A
. De fait
1
A
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_A(x) = 1
1
A
(
x
)
=
1
et
1
A
‾
(
x
)
=
0
\mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 0
1
A
(
x
)
=
0
.
Ensuite,
1
−
1
A
(
x
)
=
1
−
1
=
0
1 - \mathbf{1}_A(x) = 1 - 1 = 0
1
−
1
A
(
x
)
=
1
−
1
=
0
On constate alors que
∀
x
∈
E
,
1
A
‾
(
x
)
=
1
−
1
A
(
x
)
\forall x \in E, \,\, \mathbf{1}_{\overline{A}}(x) = 1 - \mathbf{1}_A(x)
∀
x
∈
E
,
1
A
(
x
)
=
1
−
1
A
(
x
)
.
Finalement :
1
−
1
A
=
1
A
‾
{\color{red}{\boxed{1 - \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_{\overline{A}}}}}
1
−
1
A
=
1
A
Ainsi :
A
1
=
A
‾
{\color{red}{\boxed{A_1 = \overline{A}}}}
A
1
=
A
Question 2
Quel est l'ensemble
A
2
A_2
A
2
dont la fonction indicatrice est
1
A
2
=
1
A
×
1
B
\mathbf{1}_{A_2} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B
1
A
2
=
1
A
×
1
B
?
Correction
Soit
x
∈
E
x \in E
x
∈
E
.
Si
x
∈
A
∩
B
x \in A \cap B
x
∈
A
∩
B
alors
x
∈
A
x \in A
x
∈
A
et
x
∈
B
x \in B
x
∈
B
. De fait
1
A
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_A(x) = 1
1
A
(
x
)
=
1
et
1
B
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_B(x) = 1
1
B
(
x
)
=
1
, donc
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
=
1
×
1
=
1
\mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x) = 1 \times 1 = 1
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
=
1
×
1
=
1
. De plus, on en déduit que
1
A
∩
B
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = 1
1
A
∩
B
(
x
)
=
1
.
Si
x
∉
A
∩
B
x \notin A \cap B
x
∈
/
A
∩
B
alors
x
∉
A
x \notin A
x
∈
/
A
ou
x
∉
B
x \notin B
x
∈
/
B
. De fait
1
A
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_A(x) = 1
1
A
(
x
)
=
1
et
1
B
(
x
)
=
1
\mathbf{1}_B(x) = 1
1
B
(
x
)
=
1
, donc
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
=
0
×
0
=
0
\mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x) = 0 \times 0 = 0
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
=
0
×
0
=
0
. De plus, on en déduit que
1
A
∩
B
(
x
)
=
0
\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = 0
1
A
∩
B
(
x
)
=
0
.
On constate alors que
∀
x
∈
E
,
1
A
∩
B
(
x
)
=
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
\forall x \in E, \,\, \mathbf{1}_{A \cap B}(x) = \mathbf{1}_A(x) \times \mathbf{1}_B(x)
∀
x
∈
E
,
1
A
∩
B
(
x
)
=
1
A
(
x
)
×
1
B
(
x
)
Finalement :
1
A
∩
B
=
1
A
×
1
B
{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
1
A
∩
B
=
1
A
×
1
B
Ainsi :
A
2
=
A
∩
B
{\color{red}{\boxed{A_2 = A \cap B}}}
A
2
=
A
∩
B
Question 3
Quel est l'ensemble
A
3
A_3
A
3
dont la fonction indicatrice est
1
A
3
=
1
A
+
1
B
−
1
A
×
1
B
\mathbf{1}_{A_3} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B
1
A
3
=
1
A
+
1
B
−
1
A
×
1
B
?
Correction
D'après les lois de
M
o
r
g
a
n
Morgan
M
or
g
an
, on a :
A
∪
B
=
A
∪
B
‾
‾
=
A
‾
∩
B
‾
‾
A \cup B = \overline{\overline{A \cup B}} = \overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}
A
∪
B
=
A
∪
B
=
A
∩
B
Donc :
1
A
∪
B
=
1
A
‾
∩
B
‾
‾
\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}}
1
A
∪
B
=
1
A
∩
B
D'après la première question, on a :
1
A
‾
∩
B
‾
‾
=
1
−
1
A
‾
∩
B
‾
\mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A} \cap {\overline{B}}}
1
A
∩
B
=
1
−
1
A
∩
B
D'après la deuxième question, on a :
1
A
‾
∩
B
‾
=
1
A
‾
×
1
B
‾
\mathbf{1}_{\overline{A} \cap {\overline{B}}} = \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
1
A
∩
B
=
1
A
×
1
B
D'où :
1
A
‾
∩
B
‾
‾
=
1
−
1
A
‾
×
1
B
‾
\mathbf{1}_{\overline{\overline{A} \cap {\overline{B}}}} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
1
A
∩
B
=
1
−
1
A
×
1
B
On en déduit donc que :
1
A
∪
B
=
1
−
1
A
‾
×
1
B
‾
\mathbf{1}_{A \cup B} = 1 - \mathbf{1}_{\overline{A}} \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
1
A
∪
B
=
1
−
1
A
×
1
B
Puis, avec la première question, on obtient :
1
A
∪
B
=
1
−
(
1
−
1
A
)
×
(
1
−
1
B
)
=
1
−
1
+
1
B
+
1
A
−
1
A
1
B
\mathbf{1}_{A \cup B} = 1 - \big( 1 - \mathbf{1}_{A} \big) \times \big( 1 - \mathbf{1}_{B} \big) = 1 - 1 + \mathbf{1}_{B} + \mathbf{1}_{A}- \mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B}
1
A
∪
B
=
1
−
(
1
−
1
A
)
×
(
1
−
1
B
)
=
1
−
1
+
1
B
+
1
A
−
1
A
1
B
Finalement :
1
A
∪
B
=
1
A
+
1
B
−
1
A
×
1
B
{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
1
A
∪
B
=
1
A
+
1
B
−
1
A
×
1
B
Ainsi :
A
3
=
A
∪
B
{\color{red}{\boxed{A_3 = A \cup B}}}
A
3
=
A
∪
B
Question 4
Quel est l'ensemble
A
4
A_4
A
4
dont la fonction indicatrice est
1
A
4
=
1
A
−
1
A
×
1
B
\mathbf{1}_{A_4} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B
1
A
4
=
1
A
−
1
A
×
1
B
?
Correction
On sait que
A
∖
B
=
A
∩
B
‾
A \setminus B = A \cap \overline{B}
A
∖
B
=
A
∩
B
.
Donc, d'après la deuxième question, on en déduit que :
1
A
∖
B
=
1
A
×
1
B
‾
\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_{\overline{B}}
1
A
∖
B
=
1
A
×
1
B
.
Mais d'après la première question, on a :
1
A
∖
B
=
1
A
×
(
1
−
1
B
)
\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A \times \big( 1 - \mathbf{1}_{B} \big)
1
A
∖
B
=
1
A
×
(
1
−
1
B
)
.
En développant, on obtient finalement :
1
A
∖
B
=
1
A
−
1
A
×
1
B
{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B }}}
1
A
∖
B
=
1
A
−
1
A
×
1
B
Ainsi :
A
4
=
A
∖
B
{\color{red}{\boxed{A_4 = A \setminus B}}}
A
4
=
A
∖
B
Question 5
Que vaut
1
A
2
\mathbf{1}_A^2
1
A
2
?
Correction
D'après la deuxième question, on sait que :
1
A
∩
B
=
1
A
×
1
B
\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_B
1
A
∩
B
=
1
A
×
1
B
Si
B
=
A
B = A
B
=
A
alors on trouve que :
1
A
∩
A
=
1
A
×
1
A
\mathbf{1}_{A \cap A} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_A
1
A
∩
A
=
1
A
×
1
A
Or, on sait que
A
∩
A
=
A
A \cap A = A
A
∩
A
=
A
. Donc :
1
A
=
1
A
×
1
A
\mathbf{1}_{A} = \mathbf{1}_A \times \mathbf{1}_A
1
A
=
1
A
×
1
A
Finalement :
1
A
=
1
A
2
{\color{red}{\boxed{ \mathbf{1}_{A} = \mathbf{1}_A^2 }}}
1
A
=
1
A
2