La disjonction des cas - Exercice 4

On cherche à démontrer que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, |\, x - 1 \,| \, \leqslant x^2 - x + 1$$
Commençons par constater qu'il est sans doute plus simple de présenter ce résultat sous la forme suivante :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \, x^2 - x + 1 - |\, x - 1 \,| \geqslant 0$$
La présence du terme $$|\, x - 1 \,|$$ suggère de distinguer selon la valeur de $$x$$ suivant $$x \geqslant 1$$ et $$x < 1$$. On a les deux situations suivantes.
$$\bullet \,\,$$ Premier cas : si $$x \geqslant 1$$ alors $$x - 1 \geqslant 0$$ et ce qui implique que $$|\, x - 1 \,| = x - 1$$.
Dans ce cas, on obtient :
$$x^2 - x + 1 - |\, x - 1 \,| = x^2 - x + 1 - (x - 1) = x^2 - x + 1 - x + 1 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x-1)^2 + 1$$
Or, une expression au carré est nécessairement positive ou nulle, donc $$(x-1)^2 \geqslant 0$$. Ce qui nous permet d'écrire que $$(x-1)^2 + 1 \geqslant 1$$ ou encore $$(x-1)^2 + 1 > 0$$.
Donc on a bien $$x^2 - x + 1 - |\, x - 1 \,| \geqslant 0$$, ce qui est équivalent à $$|\, x - 1 \,| \, \leqslant x^2 - x + 1$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Deuxième cas : si $$x < 1$$ alors $$x - 1 < 0$$ et ce qui implique que $$|\, x - 1 \,| = -(x - 1) = - x + 1 = 1 - x$$.
Dans ce cas, on obtient :
$$x^2 - x + 1 - |\, x - 1 \,| = x^2 - x + 1 - (1 - x) = x^2 - x + 1 - 1 + x = x^2$$
Or, une expression au carré est nécessairement positive ou nulle, donc $$x^2 \geqslant 0$$.
Donc on a bien $$x^2 - x + 1 - |\, x - 1 \,| \geqslant 0$$, ce qui est équivalent à $$|\, x - 1 \,| \, \leqslant x^2 - x + 1$$.
Dans tous les cas, on trouve que $$|\, x - 1 \,| \, \leqslant x^2 - x + 1$$.
Ainsi, on a bien démontrer que : $$\forall x \in \mathbb{R}, \, |\, x - 1 \,| \leqslant x^2 - x + 1$$ $${\color{blue}{\blacksquare}}$$