Pour faire cela, nous allons réaliser une démonstration par disjonction des cas.
Commençons par choisir un nombre entier naturel quelconque, que nous noterons
n.
Nous allons distinguer selon la parité de
n.
∙ Premier cas : si
n est pair alors
n=2p, avec
p∈N.
Ainsi
2n(n+1)=22p(2p+1)=2p(2p+1)=4p2+2p=2(2p2+p). Comme
p∈N alors
p2∈N, et de fait
2p2∈N également. On en déduit donc que
2p2+p∈N, d'où
2(2p2+p)∈N)Ainsi, on a
2n(n+1)∈N.
∙∙ Deuxième cas : si
n est impair alors
n=2p+1, avec
p∈N.
Ainsi
2n(n+1)=2(2p+1)(2p+1+1)=2(2p+1)(2p+2)=22(2p+1)(p+1)=(2p+1)(p+1). Comme
p∈N alors
2p∈N, et de fait
(2p+1)∈N également. On en déduit donc que
(2p+1)(p+1)∈N.
Ainsi, on a
2n(n+1)∈N.
On constate que dans tous les cas on a
2n(n+1)∈N. Ce qui prouve que nous avons démontré l'assertion suivante :
∀n∈N,2n(n+1)∈N.
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