La disjonction des cas - Exercice 2

Nous cherchons à démontrer l'assertion suivante :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \, \exist k \in \mathbb{N}, \, \big( (n^2 = 4k) \vee (n^2 = 4k + 1) \big)$$
A savoir que le carré d'un nombre entier naturel quelconque $$(n^2)$$ est soit pair $$(4k)$$ ou $$(\vee)$$ soit impair $$(4k+1)$$.
Donc, commençons par choisir un nombre entier naturel quelconque que nous désignerons par $$n$$. Et nous allons distinguer, les deux situations, suivant la parité de $$n$$.
$$\bullet \,\,$$ Premier cas : si $$n$$ est pair alors $$n = 2p$$, avec $$p \in \mathbb{N}$$.
Ainsi $$n^2 = (2p)^2 = 4p^2 = 4 \times (p^2)$$. On pose $$k = p^2$$, et comme $$p \in \mathbb{N}$$ alors $$p^2 \in \mathbb{N}$$.
De fait, on a $$n^2 = 4k$$ et donc $$(n^2 = 4k) \vee (n^2 = 4k + 1)$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Deuxième cas : si $$n$$ est impair alors $$n = 2p+1$$, avec $$p \in \mathbb{N}$$.
Ainsi $$n^2 = (2p+1)^2 = 4p^2 +4p +1 = 4 \times (p^2 + p) + 1$$. On pose $$k = p^2 + p$$, et comme $$p \in \mathbb{N}$$ alors $$p^2 \in \mathbb{N}$$ et ce qui permet de dire que $$p^2+p \in \mathbb{N}$$.
De fait, on a $$n^2 = 4k + 1$$ et donc $$(n^2 = 4k) \vee (n^2 = 4k + 1)$$.
Dans tous les cas, on a bien la relation $$(n^2 = 4k) \vee (n^2 = 4k + 1)$$, ce qui prouve que nous avons démontré l'assertion suivante : $$\forall n \in \mathbb{N}, \, \exist k \in \mathbb{N}, \, \big( (n^2 = 4k) \vee (n^2 = 4k + 1) \big)$$. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$