Langage de la logique et des ensembles

La disjonction des cas - Exercice 1

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Le principe logique de cette méthode repose sur l'assertion suivante :
((Q⟹P)∧(¬Q⟹P))⟺P\big((Q \Longrightarrow P) \wedge (\neg Q \Longrightarrow P) \big) \Longleftrightarrow P
Ainsi, pour montrer qu'une assertion PP donnée est vraie, il suffit de trouver une assertion QQ telle que Q⟹PQ \Longrightarrow P et ¬Q⟹P\neg Q \Longrightarrow P soient simultanément vraies.
Précisons, qu'en général, l'assertion QQ intervient de façon naturelle au cours de l'analyse.
Le principe logique de cette méthode se traduit par une rédaction du type :
• Premier cas : Supposons qu'on a QQ et vérifions qu'on a PP.
• Deuxième : Supposons maintenant qu'on a ¬Q\neg Q et vérifions qu'on a encore PP.
Puis, il reste à conclure par "Dans tous les cas, on a bien la relation PP, ce qui achève la démonstration ■{\color{blue}{\blacksquare}}".
Question 1

Soit λ\lambda un nombre réel strictement négatif. Démontrer que l'on a :
∀(x,y)∈R2, max⁡(λx , λy)=λ×min⁡(x , y)\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda \times \min(x \,,\, y)

Correction
On considère les deux nombres réels quelconques xx et yy.
On a alors les deux cas suivants.
∙  \bullet \,\, Premier cas : si x⩽yx \leqslant y alors min⁡(x , y)=x\min(x \,,\, y) = x
alors, comme λ<0\lambda < 0, l'ordre est inversé, et on a λx⩾λy\lambda x \geqslant \lambda y. De fait max⁡(λx , λy)=λx\max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda x, et donc max⁡(λx , λy)=λmin⁡(x , y)\max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda \min(x \,,\, y).
∙∙  \bullet \bullet \,\, Deuxième cas : si x>yx > y alors min⁡(x , y)=y\min(x \,,\, y) = y
alors, comme λ<0\lambda < 0, l'ordre est inversé, et on a λx<λy\lambda x < \lambda y. De fait max⁡(λx , λy)=λy\max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda y, et donc max⁡(λx , λy)=λmin⁡(x , y)\max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda \min(x \,,\, y).
Dans tous les cas, on a bien la relation max⁡(λx , λy)=λ×min⁡(x , y)\max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda \times \min(x \,,\, y), ce qui prouve que nous avons démontré l'assertion suivante : ∀(x,y)∈R2, max⁡(λx , λy)=λ×min⁡(x , y)\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \max(\lambda x \,,\, \lambda y) = \lambda \times \min(x \,,\, y). ■{\color{blue}{\blacksquare}}