Langage de la logique et des ensembles

La différence symétrique (1) - Exercice 1

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Un premier exercice sur la différence symétrique.
Question 1
On note, classiquement, par le symbole \setminus l'opération différence.
Soit AA et BB deux parties d'un même ensemble EE. On appelle la diffeˊrence symeˊtrique{\color{red}{\bf{différence \,\ symétrique}}} entre les deux parties AA et BB, que l'on note AΔBA \Delta B, l'opération suivante :
AΔB=(AB)(AB)A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
Définition, à laquelle on associe la figure suivante :

Démontrer que AΔB=(AB)(AB)=(AB)(BA)A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

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Question 2

On suppose que AΔB=ABA \Delta B = A \cap B. Démontrer que dans ce cas, on a A=B=A = B = \emptyset

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Question 3

Soit CC une autre partie de l'ensemble EE. Démontrer que l'on a AΔB=AΔCA \Delta B = A \Delta C si et seulement si B=CB = C.

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Question 4

Soit XX une partie inconnue de EE. Autrement dit XP(E)X \in \mathscr{P}(E). Résoudre l'équation ensembliste suivante : AΔX=A \Delta X = \emptyset.

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