Equations ensemblistes - Exercice 1

Remarquons que $$A$$ est inclus dans $$A \cup X$$ (qui est le même ensemble que $$X \cup A$$).
Donc l'équation $$X \cup A = B$$ n'a pas de solution si $$A$$ n'est pas inclus (entièrement) dans $$B$$.
Donc, il est tout à fait normal de se placer dans le cas ou $$A \subset B$$.
Si $$X \cup A = B$$ alors $$X$$ est inclus dans $$B$$. De plus, comme $$X = (X \cup A) \setminus A$$ cela signifie que $$X$$ contient $$B \setminus A$$.
Finalement, l'ensemble $$S_X$$ des solutions $$X$$ de l'équation $$X \cup A = B$$ est le suivant :
$${\color{red}{\boxed{S_X = \{ \big(X \in \mathscr{P}(E) \big) \vee (A \subset B), \,\, B \setminus A \subset X \subset B \} }}}$$

Remarquons que $$X \cap A$$ est inclus dans $$A$$.
Donc l'équation $$X \cap A = B$$ n'a pas de solution si $$B$$ n'est pas inclus (entièrement) dans $$A$$.
Donc, il est tout à fait normal de se placer dans le cas ou $$B \subset A$$.
On a alors :
$$X = X \cap E = X \cap (A \cup \overline{A}) = (X \cap A) \cup (X \cap \overline{A}) = B \cup (X \cap \overline{A})$$
Donc, on en déduit que $$B$$ est inclus dans $$X$$. Puis, on en déduit également que $$X$$ est lui même inclus dans $$B \cup \overline{A}$$.
Finalement, l'ensemble $$S_X$$ des solutions $$X$$ de l'équation $$X \cap A = B$$ est le suivant :
$${\color{red}{\boxed{S_X = \{ \big(X \in \mathscr{P}(E) \big) \vee (B \subset A), \,\, B \subset X \subset B \cup \overline{A} \} }}}$$