Langage de la logique et des ensembles

Encore des négations !! - Exercice 1

30 min
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Pour contrôler son apprentissage.
Pour les assertions proposées, donner leur négation.
Question 1

∀a∈N⋆,∃(b,c)∈N×N⋆,a=bc\forall a \in \mathbb{N}^\star, \exist (b,c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\star, a = b c

Correction
La négation de ∀a∈N⋆,∃(b,c)∈N×N⋆,a=bc\forall a \in \mathbb{N}^\star, \exist (b,c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\star, a = b c est donnée par :
¬(∀a∈N⋆,∃(b,c)∈N×N⋆,a=bc)⟺(∃a∈N⋆,∀(b,c)∈N×N⋆,a≠bc){\color{red}{\boxed{\neg \big( \forall a \in \mathbb{N}^\star, \exist (b,c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\star, a = b c \big) \Longleftrightarrow \big( \exist a \in \mathbb{N}^\star, \forall (b,c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\star, a \neq b c \big) }}}
Question 2

∀(a,b)∈N⋆2,∃c∈N,a=bc\forall (a,b) \in \mathbb{N}{^\star}^2, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c

Correction
La négation de ∀(a,b)∈N⋆2,∃c∈N,a=bc\forall (a,b) \in \mathbb{N}{^\star}^2, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c est donnée par :
¬(∀(a,b)∈N⋆2,∃c∈N,a=bc)⟺(∃(a,b)∈N⋆2,∀c∈N,a≠bc){\color{red}{\boxed{\neg \big( \forall (a,b) \in \mathbb{N}{^\star}^2, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c \big) \Longleftrightarrow \big( \exist (a,b) \in \mathbb{N}{^\star}^2, \forall c \in \mathbb{N}, a \neq b c \big)}}}
Question 3

∃a∈N⋆,∀b∈N⋆,∃c∈N,a=bc\exist a \in \mathbb{N}{^\star}, \forall b\in \mathbb{N}{^\star}, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c

Correction
La négation de ∃a∈N⋆,∀b∈N⋆,∃c∈N,a=bc\exist a \in \mathbb{N}{^\star}, \forall b\in \mathbb{N}{^\star}, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c est donnée par :
¬(∃a∈N⋆,∀b∈N⋆,∃c∈N,a=bc)⟺(∀a∈N⋆,∃b∈N⋆,∀c∈N,a≠bc){\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist a \in \mathbb{N}{^\star}, \forall b\in \mathbb{N}{^\star}, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c \big) \Longleftrightarrow \big( \forall a \in \mathbb{N}{^\star}, \exist b\in \mathbb{N}{^\star}, \forall c \in \mathbb{N}, a \neq b c \big)}}}
Question 4

La suite numérique (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} vérifie :
∀M∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un⩾M)\forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M)

Correction
La négation de ∀M∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un⩾M)\forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M) est donnée par :
¬(∀M∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un⩾M))⟺(∃M∈R, ∀N∈N, ∃n∈N, ¬((n⩾N)⟹(un⩾M)))\neg \big( \forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M) \big) \Longleftrightarrow \bigg( \exist M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, \neg \big((n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M) \big)\bigg)
Or, pour deux assertions PP et QQ, on a ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow P \wedge \neg Q. Donc, on en déduit que :
¬(∀M∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un⩾M))⟺(∃M∈R, ∀N∈N, ∃n∈N, ((n⩾N)∧¬(un⩾M)))\neg \big( \forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M) \big) \Longleftrightarrow \bigg( \exist M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, \big((n \geqslant N) \wedge \neg(u_n \geqslant M) \big)\bigg)
Finalement :
¬(∀M∈R, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un⩾M))⟺(∃M∈R, ∀N∈N, ∃n∈N, ((n⩾N)∧(un<M))){\color{red}{\boxed{\neg \big( \forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M) \big) \Longleftrightarrow \bigg( \exist M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, \big((n \geqslant N) \wedge (u_n < M) \big)\bigg)}}}
Question 5

La suite numérique (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} vérifie :
∃M∈R, ∀n∈N, un⩽M\exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant M

Correction
La négation de ∃M∈R, ∀n∈N, un⩽M\exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant M est donnée par :
¬(∃M∈R, ∀n∈N, un⩽M)⟺(∀M∈R, ∃n∈N, un>M){\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant M \big) \Longleftrightarrow \big( \forall M \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, u_n > M\big) }}}