Démonstration par l'absurde - Exercice 5

Effectuons un raisonnement par l'absurde.
Posons l'hypothèse initiale suivante : la suite numérique réelle $$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est convergente.
On sait que $$v_n = u_n + (-1)^n$$, ce qui permet d'écrire que $$v_n - u_n = (-1)^n$$. Or, $$v_n - u_n$$ est le terme général de la suite $$\left( u_n - v_n\right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} - \left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$.
Or, on sait que la soustraction de deux suites convergentes constitue une suite également convergente. Donc la suite $$\left( u_n - v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge.
Or, on a $$v_n - u_n = (-1)^n$$, et donc $$\left( u_n - v_n\right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( (-1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$. Mais $$(-1)^n$$ est un terme oscillant avec $$n$$. Autrement dit le signe du terme général $$(-1)^n$$ dépend de $$n$$. Le terme $$(-1)^n$$ est positif si $$n$$ est pair, et négatif lorsque $$n$$ est impair.
En conséquence, la suite numérique réelle $$\left( (-1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est oscillante, donc non convergente, donc divergente. De fait, la suite $$\left( u_n - v_n\right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( (-1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est divergente.
On conste donc une contradiction avec la théorie générale des suites numériques réelle. En effet, sous l'hypothèse initiale, nous constatons que la suite $$\left( u_n - v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$$ diverge alors qu'elle devrait-être convergente.
On aboutit donc, sous la l'hypothèse initiale "la suite numérique réelle $$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est convergente", à une contradiction. On en déduit alors que l'hypothèse initiale est de vérité fausse $$(F)$$.
En conclusion, on a bien démontrer que la suite numérique réelle $$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est divergente. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Remarque :}}}$$
Deux suites $$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ et $$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ qui vérifient $$\displaystyle{ \lim_{n \longrightarrow + \infty} (u_n - v_n ) = 0}$$ s'appellent des suites adjacentes.