Démonstration par l'absurde - Exercice 4

Effectuons une démonstration par l'absurde.
Faisons l'hypothèse initiale suivante : les deux droites $$D$$ et $$D'$$ d'équations cartésiennes respectives $$y = x + 1$$ et $$y = x - 1$$ ne sont pas parallèles.
Dans $$\mathbb{R}^2$$, si les deux droites $$D$$ et $$D'$$ ne sont pas parallèles alors elles sont sécantes. Notons par $$C$$ le point de croisement de ces deux droites $$D$$ et $$D'$$. Dans $$\mathbb{R}^2$$, les coordonnées de $$C$$ sont respectivement $$x_c$$ et $$y_c$$. Ainsi, le point $$C$$ appartient simultanément aux deux droites $$D$$ et $$D'$$, et de fait, les coordonnées du point $$C$$ satisfont aux équations cartésiennes. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_0 & = & x_0 + 1 \\ y_0 & = & x_0 - 1 \\ \end{array} \right.$$
Or, on a :
$$y_0 = y_0 \,\, \Longleftrightarrow \,\, x_0 + 1 = x_0 - 1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, x_0 + 1 - x_0 = - 1$$
Ce qui nous donne $$1 = - 1$$.
Ce résultat est en contradiction avec la théorie des nombres réels dont dépend la géométrie plane analytique.
Donc l'hypothèse initiale "les deux droites $$D$$ et $$D'$$ d'équations cartésiennes respectives $$y = x + 1$$ et $$y = x - 1$$ ne sont pas parallèles" est de vérité fausse $$(F)$$.
Donc nous avons bien démontrer que les deux droites $$D$$ et $$D'$$ d'équations cartésiennes respectives $$y = x + 1$$ et $$y = x - 1$$ sont parallèles dans $$\mathbb{R}^2$$. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$