Langage de la logique et des ensembles

Démonstration par l'absurde - Exercice 3

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Un autre exercice pour s'entrainer à la méthode de la démonstration par l'absurde.
Un classique de l'arithmétique.
On rappelle qu'un nombre premier est donc un nombre entier naturel dont ses seuls diviseurs sont 11 et lui-même. Citons quelques nombres premiers : 22, 33, 55, 77, 1111, 1313, 1717, 1919, \cdots
En conséquence, chaque nombre entier naturel, supérieur ou égal à 22, admet au moins un diviseur qui est un nombre premier.
Question 1

Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.

Correction
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que l'ensemble P\mathcal{P} des nombres premiers est fini et montrons qu'on arrive à une contradiction.
Comme P\mathcal{P} est fini et non vide, P\mathcal{P} a un plus grand élément. Notons par nNn \in \mathbb{N} ce plus grand élément de P\mathcal{P}.
Posons p=1+n!p = 1 + n! . Comme p>n>2p > n > 2. Comme nn est le plus grand élément de P\mathcal{P} cela implique que pp n'est pas un nombre premier.
De part la définition d'un nombre premier, pp admet donc un diviseur dNd \in \mathbb{N} qui est premier. Ce diviseur dd est forcément différent de 22, 33, 55, 77, 1111, 1313, 1717, 1919, \cdots, nn car chacun de ces entiers naturels divise le nombre n!n ! et de fait ne divise pas 1+n!1 + n!.
Ainsi, sous l'hypothèse initiale, on constate que ce diviseur premier dd est nécessairement supérieur à nn.
Ce qui est en contradiction avec la définition de nn, à savoir n=max(P)n = \max(\mathcal{P}).
L'hypothèse initiale "l'ensemble P\mathcal{P} des nombres premiers est fini" est donc fausse.
En conclusion l'ensemble P\mathcal{P} est donc infini. {\color{blue}{\blacksquare}}
Remarque:{\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Remarque :}}}
La démonstration ci-dessus est due à EuclideEuclide. Il existe plusieurs autres démonstrations de ce théorème. Citons celle d'Euler(1737)Euler \, (1737), de Polya(1920)Polya \, (1920), ou d'ErdosErdos en 19381938.
Aucune n'est plus simple que celle d'Euclide. Certes Euler a le mérite de montrer, pour la première fois, que l'Analyse permet de démontrer des résultats sur des nombres entiers.
Cette première incursion de l'Analyse dans l'Arithmétique se mua au 19ieˊme19^{i\acute{e}me} en une véritable invasion pour créer la branche des mathématiques que l'on appelle aujourd'hui la théorie analytique des nombres.