Raisonnons par l'absurde.
Supposons que l'ensemble
P des nombres premiers est fini et montrons qu'on arrive à une contradiction.
Comme
P est fini et non vide,
P a un plus grand élément. Notons par
n∈N ce plus grand élément de
P.
Posons
p=1+n! . Comme
p>n>2. Comme
n est le plus grand élément de
P cela implique que
p n'est pas un nombre premier.
De part la définition d'un nombre premier,
p admet donc un diviseur
d∈N qui est premier. Ce diviseur
d est forcément différent de
2,
3,
5,
7,
11,
13,
17,
19,
⋯,
n car chacun de ces entiers naturels divise le nombre
n! et de fait ne divise pas
1+n!.
Ainsi, sous l'hypothèse initiale, on constate que ce diviseur premier
d est nécessairement supérieur à
n.
Ce qui est en contradiction avec la définition de
n, à savoir
n=max(P).
L'hypothèse initiale "l'ensemble
P des nombres premiers est fini" est donc fausse.
En conclusion l'ensemble
P est donc infini.
■▶Remarque:La démonstration ci-dessus est due à
Euclide. Il existe plusieurs autres démonstrations de ce théorème. Citons celle d'
Euler(1737), de
Polya(1920), ou d'
Erdos en
1938.
Aucune n'est plus simple que celle d'Euclide. Certes Euler a le mérite de montrer, pour la première fois, que l'Analyse permet de démontrer des résultats sur des nombres entiers.
Cette première incursion de l'Analyse dans l'Arithmétique se mua au
19ieˊme en une véritable invasion pour créer la branche des mathématiques que l'on appelle aujourd'hui la théorie analytique des nombres.