Démonstration par l'absurde - Exercice 2

Nous allons effectuer une démonstration par l'absurde.
Supposons vrai qu’il y a un nombre fini de nombres entiers naturels.
Nous pouvons donc en déduire que l’un d’entre eux est le plus grand, notons le $$M$$.
Si $$M$$ est le plus grand nombre entier naturel, alors $$M+1$$, qui est également un nombre entier naturel, est plus petit que $$M$$. Donc on peut écrire que $$M > M+1$$.
En retranchant $$M$$ dans les deux membres de l'inégalité précédente, on trouve que :
$$M - M > M+1 -M$$
Ce qui nous conduit à :
$$0 > 1$$
Or nous savons que $$0<1$$. Donc, sous l'hypothèse initiale (qu’il y a un nombre fini de nombres entiers naturels) nous aboutissons à une absurdité (ou contradiction).
Cela signifie que l'hypothèse initiale n'est pas vraie, mais fausse.
En conclusion : $${\color{red}{\bf{il \,\, ne \,\, peut \,\, pas \,\, avoir \,\, un \,\, nombre \,\, fini \,\, de \,\, nombres \,\, entiers \,\, naturels}}}$$.
Autrement dit, $${\color{red}{\bf{il \,\, y \,\, a \,\, un \,\, nombre \,\, infini \,\, de \,\, nombres \,\, entiers \,\, naturels}}}$$. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$