Démonstration par l'absurde - Exercice 1

Effectuons un raisonnement par l'absurde.
Soit $$x$$ un réel tel que $$x>1$$ . On admet qu'il existe un couple $$\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2$$ tel que : $$x^2=a \ln \left(x\right)+b$$
On peut alors écrire que :
$$\frac{x^2}{\ln \left(x\right)}=a +\frac{b}{\ln \left(x\right)}$$ .
Or : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^2}{\ln \left(x\right) }=+\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } a+\frac{b}{\ln \left(x\right) }=a$$
Nous ne pouvons pas avoir à la fois $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^2}{\ln \left(x\right) }=+\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^2}{\ln \left(x\right) }=a$$ car $$a\in \mathbb{R}$$ .
Cela signifie que l'hypothèse initiale n'est pas vraie, mais fausse.
Nous venons de montrer qu’il n’existe aucun couple $$\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2$$ tel $$x^2=a \ln \left(x\right)+b$$ .