Soit n∈N . Démontrer que si n2 est un multiple de 3 alors nest un multiple de 3 .
Correction
Démontrer que si n2 est un multiple de 3 alors nest un multiple de 3 peut se traduire sous la forme de cette implication : n2∈3N⟹n∈3N . Raisonnement par contraposition : On rappelle que (n2∈3N⟹n∈3N)⟺(n∈/3N⟹n2∈/3N) Supposons que n ne soit pas un multiple de 3. Il en résulte qu'il existe un entier k tel que : n=3k+1 ou n=3k+2 . Premier cas : lorsque n=3k+1 On a alors : n2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 . On pose α=3k2+2k où α∈N Ainsi n2=3α+1 et de ce fait n2∈/3N Deuxième cas : lorsque n=3k+2 On a alors : n2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1 . On pose β=3k2+4k+1 où β∈N Ainsi n2=3β+1 et de ce fait n2∈/3N Nous venons de démontrer que n∈/3N⟹n2∈/3N, qui est la contraposée de notre objectif. Selon le principe de la démonstration par contraposition, on a montré, que pour tout entier naturel n, si n2 est un multiple de 3 alors nest un multiple de 3 .
Question 2
Montrer que 3 est irrationnel.
Correction
Raisonnons par l'absurde. Supposons que 3∈Q . Il existe deux entiers naturels p et q tel que 3=qp est sous forme irréductible. Ainsi : 3=qp⟹q2p2=3⟹p2=3q2 Il en résulte donc que p2∈3N et d'après la question précédente p∈3N . Il existe donc un entier k tel que p=3k ainsi : p2=3q2⟹(3k)2=3q2⟹9k2=3q2⟹3k2=q2 Il en résulte donc que q2∈3N et d'après la question précédente q∈3N . Ainsi p et q sont multiples de 3, il en résulte donc que 3=qp est divisible par 3 et de ce fait 3=qp n'est pas irréductible. Cela signifie que l'hypothèse initiale n'est pas vraie, mais fausse. Finalement, nous venons de montrer que 3 est irrationnel.