Langage de la logique et des ensembles

Démonstration par contraposition - Exercice 5

15 min
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Question 1

Soit nNn\in \mathbb{N} . Démontrer que si n2n^2 est un multiple de 33 alors n n\ est un multiple de 33 .

Correction
Démontrer que si n2n^2 est un multiple de 33 alors n n\ est un multiple de 33 peut se traduire sous la forme de cette implication : n23Nn3Nn^2\in 3\mathbb{N}\Longrightarrow n\in 3\mathbb{N} .
Raisonnement par contraposition : On rappelle que (n23Nn3N)(n3Nn23N)\left(n^2\in 3\mathbb{N}\Longrightarrow n\in 3\mathbb{N}\right)\Longleftrightarrow \left(n\notin 3\mathbb{N}\Longrightarrow n^2\notin 3\mathbb{N}\right)
Supposons que nn ne soit pas un multiple de 33. Il en résulte qu'il existe un entier kk tel que : n=3k+1n=3k+1 ou n=3k+2n=3k+2 .
Premier cas : lorsque n=3k+1n=3k+1
On a alors : n2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1n^2={\left(3k+1\right)}^2=9k^2+6k+1=3\left(3k^2+2k\right)+1 . On pose α=3k2+2k\alpha =3k^2+2kαN\alpha \in \mathbb{N}
Ainsi n2=3α+1n^2=3\alpha +1 et de ce fait n23Nn^2\notin 3\mathbb{N}
Deuxième cas : lorsque n=3k+2n=3k+2
On a alors : n2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1n^2={\left(3k+2\right)}^2=9k^2+12k+4=3\left(3k^2+4k+1\right)+1 . On pose β=3k2+4k+1\beta =3k^2+4k+1βN\beta \in \mathbb{N}
Ainsi n2=3β+1n^2=3\beta +1 et de ce fait n23Nn^2\notin 3\mathbb{N}
Nous venons de démontrer que n3Nn23Nn\notin 3\mathbb{N}\Longrightarrow n^2\notin 3\mathbb{N}, qui est la contraposée de notre objectif. Selon le principe de la démonstration par contraposition, on a montré, que pour tout entier naturel nn, si n2n^2 est un multiple de 33 alors n n\ est un multiple de 33 .
Question 2

Montrer que 3\sqrt{3} est irrationnel.

Correction
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que 3Q\sqrt{3}\in \mathbb{Q} . Il existe deux entiers naturels pp et qq tel que 3=pq\sqrt{3}=\frac{p}{q} est sous forme irréductible.
Ainsi :
3=pqp2q2=3p2=3q2\sqrt{3}=\frac{p}{q}\Longrightarrow \frac{p^2}{q^2}=3\Longrightarrow p^2=3q^2
Il en résulte donc que p23Np^2\in 3\mathbb{N} et d'après la question précédente p3Np\in 3\mathbb{N} .
Il existe donc un entier kk tel que p=3kp=3k ainsi :
p2=3q2(3k)2=3q29k2=3q23k2=q2p^2=3q^2\Longrightarrow {\left(3k\right)}^2=3q^2\Longrightarrow {9k}^2=3q^2\Longrightarrow {3k}^2=q^2
Il en résulte donc que q23Nq^2\in 3\mathbb{N} et d'après la question précédente q3Nq\in 3\mathbb{N} .
Ainsi pp et qq sont multiples de 33, il en résulte donc que 3=pq\sqrt{3}=\frac{p}{q} est divisible par 33 et de ce fait 3=pq\sqrt{3}=\frac{p}{q} n'est pas irréductible.
Cela signifie que l'hypothèse initiale n'est pas vraie, mais fausse.
Finalement, nous venons de montrer que 3\sqrt{3} est irrationnel.