Démonstration par contraposition - Exercice 4

Commençons par ordonner cette liste des neuf nombres entiers naturels selon : $$n_1 \leqslant n_2 \leqslant n_3 \leqslant n_4 \leqslant n_5 \leqslant n_6 \leqslant n_7 \leqslant n_8 \leqslant n_9$$.
Ainsi la plus grande somme de trois éléments de cette liste des neuf nombres entiers naturel est $$n_7 + n_8 + n_9$$.
Dans ce cas, nous avons l'assertion suivante :
$$\big(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 = 90 \big) \Longrightarrow \big( n_7 + n_8 + n_9 \geqslant 30 \big)$$
Afin de la démontrer, nous allons faire usage de la méthode par contraposition. L'assertion contraposée est la suivante :
$$\neg \big( n_7 + n_8 + n_9 \geqslant 30 \big) \Longrightarrow \neg \big(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 = 90 \big)$$
A savoir :
$$\big( n_7 + n_8 + n_9 < 30 \big) \Longrightarrow \big(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 \neq 90 \big)$$
Ainsi, nous allons faire l'hypothèse initiale que nous ayons : $$n_7 + n_8 + n_9 < 30$$.
Comme nous avons ordonné ces neuf nombres entiers naturels selon $$n_1 \leqslant n_2 \leqslant n_3 \leqslant n_4 \leqslant n_5 \leqslant n_6 \leqslant n_7 \leqslant n_8 \leqslant n_9$$, nous pouvons donc écrire que :
$$n_1 + n_2 + n_3 \leqslant n_4 + n_5 + n_6 \leqslant n_7 + n_8 + n_9 < 30$$
Autrement écrit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} n_1 + n_2 + n_3 & < & 30 \\ n_4 + n_5 + n_6 & < & 30 \\ n_7 + n_8 + n_9 & < & 30 \\ \end{array}\right.$$
Par conséquent, par addition membres à membres, on a obligatoirement :
$$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 < 3 \times 30$$
Soit encore :
$$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 < 90$$
Et donc :
$$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 \neq 90$$
Nous venons de démontrer que $$\big( n_7 + n_8 + n_9 < 30 \big) \Longrightarrow \big(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 \neq 90 \big)$$, qui est la contraposée de notre objectif. Selon le principe de la démonstration par contraposition, nous avons donc :
$$\big(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 + n_9 = 90 \big) \Longrightarrow \big( n_7 + n_8 + n_9 \geqslant 30 \big)$$ $${\color{blue}{\blacksquare}}$$