Langage de la logique et des ensembles

Démonstration par contraposition - Exercice 3

20 min
40
Soit (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} une suite numérique réelle.
On considère la suite numérique réelle (sn)n∈N\left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}}, dont le terme général sns_n vaut : sn=u0+u1+⋯+uns_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.
Question 1

Démontrer, en raisonnant par contraposition, que si la suite (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} ne converge pas vers 00, alors la suite (sn)n∈N\left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge dans R\mathbb{R}.

Correction
Nous allons effectuer un raisonnement par contraposition.
Nous cherchons à démontrer que :
((un)n∈N  ne  converge  pas  vers  0)⟹((sn)n∈N  diverge)\bigg(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{ne \,\, converge \,\, pas \,\, vers \,\, 0}} \bigg) \Longrightarrow \bigg( \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{diverge}} \bigg)
Donc démontrons l'assertion contraposée qui est :
¬((sn)n∈N  diverge)⟹¬((un)n∈N  ne  converge  pas  vers  0)\neg \bigg( \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{diverge}} \bigg) \Longrightarrow \neg \bigg(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, \bf{ne \,\, converge \,\, pas \,\, vers \,\, 0} \bigg)
A savoir :
((sn)n∈N  converge)⟹((un)n∈N  converge  vers  0)\bigg( \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{converge}} \bigg) \Longrightarrow \bigg(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, \bf{converge \,\, vers \,\, 0} \bigg)
Donc effectuons l'hypothèse que la suite (sn)n∈N\left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} converge, et notons par ℓ∈R\ell \in \mathbb{R} cette limite de convergence. Sous cette hypothèse, nous allons chercher à démontrer que la suite (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} converge vers la valeur nulle.
Or, on remarque que :
un=sn−sn−1u_n = s_n - s_{n-1}
Par passage à la limite lorsque n⟶+∞n \longrightarrow +\infty, on trouve que :
lim⁡n⟶+∞un=lim⁡n⟶+∞(sn−sn−1)\lim_{n \longrightarrow +\infty}u_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} (s_n - s_{n-1})
Ce qui nous donne :
lim⁡n⟶+∞un=(lim⁡n⟶+∞sn)−(lim⁡n⟶+∞sn−1)\lim_{n \longrightarrow +\infty}u_n = \big( \lim_{n \longrightarrow +\infty} s_n \big) - \big( \lim_{n \longrightarrow +\infty} s_{n-1} \big)
Soit encore :
lim⁡n⟶+∞un=ℓ−ℓ\lim_{n \longrightarrow +\infty}u_n = \ell - \ell
Ce qui nous donne :
lim⁡n⟶+∞un=0\lim_{n \longrightarrow +\infty}u_n = 0
Donc la suite (un)n∈N\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} converge vers la valeur nulle.
Nous avons donc démontrer que ((sn)n∈N  converge)⟹((un)n∈N  converge  vers  0)\bigg( \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{converge}} \bigg) \Longrightarrow \bigg(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, \bf{converge \,\, vers \,\, 0} \bigg). Selon le principe de la méthode de la démonstration par contraposée, nous avons également démontré l'assertion suivante :
((un)n∈N  ne  converge  pas  vers  0)⟹((sn)n∈N  diverge)\bigg(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{ne \,\, converge \,\, pas \,\, vers \,\, 0}} \bigg) \Longrightarrow \bigg( \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\, {\bf{diverge}} \bigg) ■{\color{blue}{\blacksquare}}