Démonstration par contraposition - Exercice 2

Nous cherchons à démontrer l'implication $$\Big(\forall \varepsilon >0,\, |x| < \varepsilon \Big) \, \Longrightarrow \, (x = 0)$$. La contraposée de cette assertion est :
$$\neg (x = 0) \, \Longrightarrow \, \neg \Big(\forall \varepsilon >0,\, |x| < \varepsilon \Big)$$
A savoir :
$$(x \neq 0) \, \Longrightarrow \, \Big(\exist \varepsilon >0,\, |x| \geqslant \varepsilon \Big)$$
Donc supposons avoir un réel $$x$$ non nul. Nous devons, sous cette supposition, montrer qu'il existe bien (au moins) un nombre réel $$\varepsilon$$ (que l'on ne connais pas encore) qui permet de satisfaire à l'inégalité $$|x| \geqslant \varepsilon$$. Le choix à faire pour la valeur de $$\varepsilon$$ est simple. En effet, il suffit de choisir $$\varepsilon = \dfrac{|x|}{r}$$, avec $$r \geqslant 1$$. Avec ce choix, on s'assure bien que $$\varepsilon > 0$$, et on a effectivement :
$$|x| \geqslant \varepsilon \Longleftrightarrow |x| \geqslant \dfrac{|x|}{r} \Longleftrightarrow 1 \geqslant \dfrac{1}{r} \Longleftrightarrow r \geqslant 1$$
Ce constat est vrai. Donc, nous avons bien démontrer que $$(x \neq 0) \, \Longrightarrow \, \Big(\exist \varepsilon >0,\, |x| \geqslant \varepsilon \Big)$$. La contraposée est donc démontrée. De part le principe de la démonstration par contraposition nous avons donc :
$$\Big(\forall \varepsilon >0,\, |x| < \varepsilon \Big) \, \Longrightarrow \, (x= 0)$$ $${\color{blue}{\blacksquare}}$$