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Démonstration par contraposition - Exercice 1

20 min
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La méthode de la démonstration par contraposition consiste, plutôt que de démontrer l'implication A⟹B A\Longrightarrow B, à démontrer sa contraposée (¬B)⟹(¬A)(\neg B)\Longrightarrow (\neg A). Il est difficile de donner une règle générale d'utilisation de ce raisonnement. Un bon conseil avant de se lancer dans la démonstration d'une implication, est d'écrire d'abord sa contraposée. Avec un peu d'habitude, on arrive vite à sentir laquelle des deux est la plus facile à démontrer.
Question 1

Soient xx et yy deux nombres réels. Démontrer que si xy=0xy=0, alors x=0x=0 ou y=0y=0.

Correction
Nous cherchons à démontrer que si xy=0xy=0 alors on a obligatoirement x=0x=0 ou y=0y=0, à savoir :
(xy=0)⟹((x=0)∨(y=0))(xy = 0) \Longrightarrow \big( (x=0) \vee (y=0)\big)
Pour cela nous allons utiliser la méthode de la démonstration par contraposition. L'assertion contraposée est :
¬((x=0)∨(y=0))⟹¬(xy=0)\neg \big( (x=0) \vee (y=0)\big) \Longrightarrow \neg (xy = 0)
A savoir :
((x≠0)∧(y≠0))⟹(xy≠0)\big( (x \neq 0) \wedge (y \neq 0)\big) \Longrightarrow (xy \neq 0)
Donc nous allons faire l'hypothèse que les deux nombres réels xx et yy sont (simultanément) non nuls.
Dans ce cas le produit de deux nombres réels xx et yy sont (simultanément) non nuls est lui même non nul.
Donc, nous avons bien démontré l'assertion contraposée ((x≠0)∧(y≠0))⟹(xy≠0)\big( (x \neq 0) \wedge (y \neq 0)\big) \Longrightarrow (xy \neq 0).
D'après le principe de la méthode de démonstration par contraposition, nous avons donc bien démontré :
(xy=0)⟹((x=0)∨(y=0))(xy = 0) \Longrightarrow \big( (x=0) \vee (y=0)\big) ■{\color{blue}{\blacksquare}}

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