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Langage de la logique et des ensembles
Dans l'autre sens - Exercice 1
30 min
45
Toujours des traductions, mais cette fois dans le sens réciproque des exercices précédents.
Question 1
Traduire à l'aide d'assertions quantifiées les propriétés suivantes :
La fonction réelle
f
f
f
ne prend que des valeurs entières relatives.
Correction
∀
x
∈
R
,
f
(
x
)
∈
Z
\forall x \in \mathbb{R}, \, f(x) \in \mathbb{Z}
∀
x
∈
R
,
f
(
x
)
∈
Z
Question 2
La fonction réelle
f
f
f
prend toutes les valeurs entières relatives.
Correction
∀
n
∈
Z
,
∃
x
∈
Z
,
f
(
x
)
=
n
\forall n \in \mathbb{Z}, \, \exist x \in \mathbb{Z}, \, f(x) = n
∀
n
∈
Z
,
∃
x
∈
Z
,
f
(
x
)
=
n
Question 3
La fonction numérique réelle
f
f
f
est strictement décroissante.
Correction
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
,
(
x
<
y
)
⟹
(
f
(
x
)
<
f
(
y
)
)
\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, (x < y) \Longrightarrow \big(f(x) < f(y) \big)
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
,
(
x
<
y
)
⟹
(
f
(
x
)
<
f
(
y
)
)
Question 4
La suite numérique réelle
(
u
n
)
n
∈
N
\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}
(
u
n
)
n
∈
N
est croissante.
Correction
∀
n
∈
N
,
u
n
⩽
u
n
+
1
\forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant u_{n+1}
∀
n
∈
N
,
u
n
⩽
u
n
+
1
Question 5
La suite numérique réelle
(
u
n
)
n
∈
N
\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}
(
u
n
)
n
∈
N
est majorée.
Correction
∃
M
∈
R
,
∀
n
∈
N
,
u
n
⩽
M
\exist M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant M
∃
M
∈
R
,
∀
n
∈
N
,
u
n
⩽
M