Langage de la logique et des ensembles

D'autres traductions - Exercice 1

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Il est important de comprendre la signification d'une assertion mathématique. Pour cela il faut savoir traduire "en français" une assertion, mais également savoir réaliser le sens réciproque.
Question 1
Traduire les assertions qui vous sont proposées ci-après.

aN,(b,c)N×N,a=bc\forall a \in \mathbb{N}^\star, \exist (b,c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\star, a = b c

Correction
Tout entier naturel non nul s'écrit sous forme d'un produit de 2 entiers naturels dont l'un est non nul.
Une autre traduction possible est : out entier naturel non nul est divisible par au moins un entier naturel
non nul.
Question 2

(a,b)N2,cN,a=bc\forall (a,b) \in \mathbb{N}{^\star}^2, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c

Correction
Etant donné 2 entiers naturels non nuls; le premier peut s'écrire comme produit du second par un entier naturel convenable.
Une autre traduction est : tout entier naturel non nul est divisible par tout entier naturel non nul.
Question 3

aN,bN,cN,a=bc\exist a \in \mathbb{N}{^\star}, \forall b\in \mathbb{N}{^\star}, \exist c \in \mathbb{N}, a = b c

Correction
Il existe un entier naturel non nul qui s'écrit sous forme d'un produit de deux entiers naturels, dont l'un est non nul et choisi arbitrairement.
Une autre traduction est : il existe un entier naturel non nul qui est divisible par tout entier non nul.
Question 4

La suite numérique (un)nN\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} vérifie :
MR,NN,nN,(nN)(unM)\forall M \in \mathbb{R}, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n \geqslant M)

Correction
La numérique (un)nN\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est telle que l'élément unu_n soit aussi grand qu'on le veut pour nn assez grand.
Question 5

La suite numérique (un)nN\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} vérifie :
MR,nN,unM\exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \leqslant M

Correction
Il existe un réel supérieur ou égal à chaque terme unu_n de la suite (un)nN\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}.
Une autre traduction est : la suite (un)nN\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est majorée.