Langage de la logique et des ensembles

D'autres opérateurs logiques - Exercice 1

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Les opérateurs logiques sont très utilisés en informatique, en électronique et en automatisme. Voici un exercice qui vous présente d'autres opérations logiques.
Question 1
Soit PP et QQ deux assertions.
On considère les connecteurs binaires suivants :
∙  \bullet \,\, l'alternative{\color{red}{\bf{alternative}}} (ou disjonction exclusive), noté ω{\color{red}{\omega}}, qui se lit "ou bien ... , ou bien ... " ou encore "soit ... , soit ..." : (c'est le ou exclusif) ;
∙∙  \bullet \bullet \,\, l'incompatibiliteˊ{\color{blue}{\bf{incompatibilité}}}, encore appelé connecteur de Sheffer (en hommage au logicien américain logicien Henry Maurice Sheffer - 1882/1964), noté ∣{\color{blue}{\vert}}, et qui se lit "... exclut ... ". Ce connecteur a été introduit en 1913 par Sheffer. De nos jours il appelé NAND (non et). Sa définition est (P∣Q)⟺¬(P∧Q)(P\vert Q) \Longleftrightarrow \neg (P \wedge Q) ;
∙∙∙  \bullet \bullet \bullet \,\, le rejet{\color{green}{\bf{rejet}}}, encore appelé connecteur de Peirce (en hommage au philosophe américain logicien Charles Sanders Peirce - 1839/1914), noté ∣∣{\color{green}{\vert\vert}}, et qui se lit "ni ...,ni ...". Ce connecteur a été introduit en 1885 par Peirce. De nos jours il appelé NOR (non ou). C'est Peirce qui eu l'idée d'introduire la table de vérité. Sa définition est (P∣∣Q)⟺¬(P∨Q)(P \vert\vert Q) \Longleftrightarrow \neg(P \vee Q).

Donner la table de vérité de ω{\color{red}{\omega}}.

Correction
La table de l'alternative P ω QP \, {\color{red}{\omega}} \, Q qui se lit "soit PP, soit QQ" est donc donnée par :
∙  {\color{red}{\bullet}} \,\, Si PP et QQ ont la même vérité (les deux sont VV ou les deux sont FF) alors P ω QP \, {\color{red}{\omega}} \, Q est FF car c'est soit l'un, soit l'autre, et pas les deux.
∙∙  {\color{red}{\bullet \bullet}} \,\, Si PP et QQ ont des vérités différentes (l'une VV et l'autre FF) alors P ω QP \, {\color{red}{\omega}} \, Q est VV car c'est soit l'un, soit l'autre, et pas les deux.
Ainsi, on a :
PQP ω QVVFVFVFVVFFF\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \, {\color{red}{\omega}} \, Q \\ \hline V & V & {\color{red}{F}} \\ \hline V & F & {\color{red}{V}} \\ \hline F & V & {\color{red}{V}} \\ \hline F & F & {\color{red}{F}} \\ \hline\end{array}
Question 2

Donner la table de vérité de ∣{\color{blue}{\vert}}.

Correction
On sait que l'incompatibilité est défini par :
(P∣Q)⟺¬(P∧Q)(P {\color{blue}{\vert}} Q) \Longleftrightarrow \neg (P \wedge Q)
Or, on a :
PQP∧QVVVVFFFVFFFF\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \wedge Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}
Donc, on en déduit que :
PQ¬(P∧Q)VVFVFVFVVFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & \neg( P \wedge Q ) \\ \hline V & V & F \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}
Finalement, on trouve que :
PQP∣QVVFVFVFVVFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{blue}{\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{blue}{F}} \\ \hline V & F & {\color{blue}{V}} \\ \hline F & V & {\color{blue}{V}} \\ \hline F & F & {\color{blue}{V}} \\ \hline\end{array}
Question 3

Donner la table de vérité de ∣∣{\color{green}{\vert\vert}}.

Correction
On sait que le rejet est défini par :
(P∣∣Q)⟺¬(P∨Q)(P {\color{green}{\vert}\vert} Q) \Longleftrightarrow \neg (P \vee Q)
Or, on a :
PQP∨QVVVVFVFVVFFF\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}
Donc, on en déduit que :
PQ¬(P∨Q)VVFVFFFVFFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & \neg( P \vee Q ) \\ \hline V & V & F \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}
Finalement, on trouve que :
PQP∣∣QVVFVFFFVFFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}
Question 4

Soit PP et QQ deux assertions. A l'aide d'une table de vérité, vérifier l'équivalence suivante :
(P∣Q)⟺(P⟹¬Q)(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)

Correction
On sait que :
PQP⟹QVVVVFFFVVFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \Longrightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}
Donc, on en déduit donc que :
P¬QP⟹¬QVFFVVVFFVFVV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & \neg Q & P \Longrightarrow \neg Q \\ \hline V & F & F \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline\end{array}
On a alors :
PQP∣QP⟹¬QVVFFVFVVFVVVFFVV\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{blue}{\vert}} Q & P \Longrightarrow \neg Q \\ \hline V & V & {\color{blue}{F}} & F \\ \hline V & F & {\color{blue}{V}} & V \\ \hline F & V & {\color{blue}{V}} & V \\ \hline F & F & {\color{blue}{V}} & V\\ \hline\end{array}
On constate alors que les deux dernières colonnes ont les mêmes vérités, donc qu'elles sont équivalente. On a alors :
(P∣Q)⟺(P⟹¬Q){\color{red}{\boxed{(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)}}}
Question 5

Soit PP une assertion. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle P∣∣PP\vert \vert P.

Correction
On sait que :
PQP∣∣QVVFVFFFVFFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}
Donc :
PPP∣∣PVVFFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & P & P {\color{green}{\vert\vert}} P \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}
On constate alors que P∣∣PP {\color{green}{\vert\vert}} P à la même table de vérité que ¬P\neg P. Ainsi on a :
P∣∣P⟺¬P{\color{red}{\boxed{ P \vert\vert P\Longleftrightarrow \neg P }}}
Question 6

Soit PP et QQ deux assertions. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle ((P∣∣Q)  ∣∣  (P∣∣Q))\big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big).

Correction
On a :
PQP∣∣QVVFVFFFVFFFV\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}
Donc :
P∣∣QP∣∣Q(P∣∣Q)  ∣∣  (P∣∣Q)VVFVFFFVFFFV\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P {\color{green}{\vert\vert}} Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}
Ainsi, à l'aide des deux tables précédentes, on en déduit que :
PQP∣∣QP∣∣Q(P∣∣Q)  ∣∣  (P∣∣Q)VVFFVVFFFVFVFFVFFVVF\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}}\\ \hline F & F & {\color{green}{V}} & {\color{green}{V}} & {\color{green}{F}} \\ \hline\end{array}
En outre, on sait que :
PQP∨QVVVVFVFVVFFF\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}
Donc, on a donc la table de synthèse suivante :
PQP∨Q(P∣∣Q)  ∣∣  (P∣∣Q)VVVVVFVVFVVVFFFF\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q)\\ \hline V & V & V & {\color{green}{V}} \\ \hline V & F & V & {\color{green}{V}} \\ \hline F & V & V & {\color{green}{V}} \\ \hline F & F & F & {\color{green}{F}} \\ \hline\end{array}
On constate que les deux dernières colonnes ont les mêmes vérités, donc ces deux colonnes sont équivalente. On peut donc conclure que :
((P∣∣Q)  ∣∣  (P∣∣Q))⟺P∨Q{\color{red}{\boxed{ \big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big) \Longleftrightarrow P \vee Q }}}