Il s'agit maintenant d'apprendre à faire usage, avec grand soin, du symbole de l'équivalence ⟺. Il faut toujours se souvenir que pour une grandeur réelle X, on a : (X2=a∈R+)⟺((X=a)∨(X=−a)) Mais aussi que : (∣X∣=a∈R+)⟺(((X⩾0)⟹(X=a))∨((X<0)⟹(X=−a)))
Question 1
Soit x un nombre réel. Résoudre, dans R, l'équation suivante : ∣x−3∣=∣x−1∣
Correction
Commençons par constater que, pour tout x réel, les deux termes ∣x−3∣ et ∣x−1∣ sont positifs ou nuls. En élevant au carré, on a : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺∣x−3∣2=∣x−1∣2 Soit : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺∣x−3∣=(x−1)2 Ainsi, en tenant compte des rappels ci-dessus, on trouve que : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺(((x−3⩾0)⟹(x−3=(x−1)2))∨((x−3<0)⟹(x−3=−(x−1)2))) Ce qui nous donne : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺(((x−3⩾0)⟹(x−3=x2−2x+1))∨((x−3<0)⟹(x−3=−x2+2x−1))) Soit encore : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺(((x−3⩾0)⟹(x2−3x+4=0))∨((x−3<0)⟹(x2−x−2=0))) Concernant le trinôme du second degré x2−3x+4, son discriminant est −7<0. Donc l'équation x2−3x+4=0 n'admet pas de solution réelle. Puis, concernant le trinôme du second degré x2−x−2, son discriminant est 9>0. Donc l'équation x2−x−2=0 admet deux solutions réelles distinctes, qui sont x=−1 et x=2. Par conséquent, on trouve finalement que : ∣x−3∣=∣x−1∣⟺((x=−1)∨(x=2)) En conclusion, les solutions réelles de l'équation initiale ∣x−3∣=∣x−1∣ sont x=−1 et x=2.