Langage de la logique et des ensembles

Cas de l'équivalence - Exercice 1

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Il s'agit maintenant d'apprendre à faire usage, avec grand soin, du symbole de l'équivalence ⟺\Longleftrightarrow.
Il faut toujours se souvenir que pour une grandeur réelle XX, on a :
(X2=a∈R+)⟺((X=a)∨(X=−a))\big( X^2 = a \in \mathbb{R}^+ \big) \Longleftrightarrow \big( (X = \sqrt{a}) \vee (X = -\sqrt{a}) \big)
Mais aussi que :
(∣X∣=a∈R+)⟺(((X⩾0)⟹(X=a))∨((X<0)⟹(X=−a)))\big( |X| = a \in \mathbb{R}^+ \big) \Longleftrightarrow \bigg( \big( (X \geqslant 0) \Longrightarrow (X = a) \big) \vee \big( (X < 0) \Longrightarrow (X = -a) \big) \bigg)
Question 1

Soit xx un nombre réel. Résoudre, dans R\mathbb{R}, l'équation 2x=x2+12x = \sqrt{x^2 + 1}

Correction
Commençons par constater que xx doit nécessairement être positif ou nul ; sinon l'égalité avec x2+1\sqrt{x^2 + 1} n'aurait pas de sens. En effet, une racine carré est forcément positive ou nulle, et que nous pouvons écrire que x=x2+14⩾0x = \sqrt{\dfrac{x^2+1}{4}} \geqslant 0.
Donc, avec x∈R+x \in \mathbb{R}^+, les deux termes présents sont positifs ou nuls, d'où :
2x=x2+1⟺(2x)2=x2+12x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow (2x)^2 = x^2 + 1
Soit :
2x=x2+1⟺4x2=x2+12x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow 4x^2 = x^2 + 1
Soit encore :
2x=x2+1⟺3x2=12x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow 3x^2 = 1
Ce qui nous donne :
2x=x2+1⟺x2=132x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{3}
En se souvenant que xx doit être positif ou nul, on aboutit à :
2x=x2+1⟺x=132x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{1}{3}}
En conclusion, l'unique solution xx de l'équation proposée est : x=13x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} ■{\color{blue}{\blacksquare}}