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Langage de la logique et des ensembles
Avec la négation - Exercice 2
5 min
20
Question 1
Soit
(
u
n
)
\left(u_n\right)
(
u
n
)
une suite réelle.
Donner la négation de l'assertion suivante :
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
⟹
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\Longrightarrow \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
⟹
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
Correction
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
⟹
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\Longrightarrow \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
⟹
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
(
P
⟹
Q
)
⟺
(
P
‾
∨
Q
)
\left(P\Longrightarrow Q\right)\Longleftrightarrow \left(\overline{P}\vee Q\right)
(
P
⟹
Q
)
⟺
(
P
∨
Q
)
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
‾
∨
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\overline{\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)}\vee \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
∨
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
Ainsi :
¬
(
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
‾
∨
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
)
\neg \left(\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\overline{\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)}\vee \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)\right)
¬
(
∀
ε
>
0
,
∃
α
∈
N
;
∀
n
∈
N
,
∀
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
∨
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
<
ε
)
)
Finalement :
∃
ε
>
0
,
∀
α
∈
N
;
∃
n
∈
N
,
∃
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
∧
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
≥
ε
)
{\color{red}{\boxed{\exists \varepsilon >0,\ \forall \alpha \in \mathbb{N};\ \exists n\in \mathbb{N},\ \exists p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\wedge \left|u_n-u_{n+p}\right|\ge \varepsilon \right)}}}
∃
ε
>
0
,
∀
α
∈
N
;
∃
n
∈
N
,
∃
p
∈
N
,
(
(
n
≥
α
)
∧
(
p
≥
4
)
∧
∣
u
n
−
u
n
+
p
∣
≥
ε
)