Langage de la logique et des ensembles

Avec la négation - Exercice 1

30 min
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Un exercice pour commencer à travailler la négation.
Question 1

Donner la négation de l'assertion suivante :
∀(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b)\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b)

Correction
On a :
¬(∀(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b))⟺∃(x,y)∈R2, ¬(((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b))\begin{array}{c} \neg \big( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \big) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \neg \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \end{array}
Or, pour deux assertions PP et QQ, on sait que ¬(P⟹Q)⟺(P∧¬Q)\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q). Donc, on a alors :
∃(x,y)∈R2, ¬(((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b))⟺∃(x,y)∈R2, (((x∈R+⋆)∧(y∈R+))∧¬(∃n∈N, nx>b))⟺∃(x,y)∈R2, (((x∈R+⋆)∧(y∈R+))∧(∀n∈N, nx⩽b))⟺∃(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+)∧(∀n∈N, nx⩽b))\begin{array}{c} \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \neg \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \wedge \neg (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \end{array}
Et de manière parfaitement équivalente, et plus simple, on a :
∃(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+)∧(∀n∈N, nx⩽b))⟺∃x∈R+⋆, ∃y∈R+, ∀n∈N, nx⩽y\begin{array}{c} \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist x \in \mathbb{R}^{+\star}, \, \exist y \in \mathbb{R}^+, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \\ \end{array}
Finalement :
¬(∀(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b))⟺∃x∈R+⋆, ∃y∈R+, ∀n∈N, nx⩽y{\color{red}{\boxed{ \begin{array}{c} \neg \big( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \big) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist x \in \mathbb{R}^{+\star}, \, \exist y \in \mathbb{R}^+, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \end{array} }}}
Question 2

Donner la négation de l'assertion suivante :
∃x∈R+⋆, ∃y∈R+, ∀n∈N, nx⩽y\exist x \in \mathbb{R}^{+\star}, \, \exist y \in \mathbb{R}^+, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y

Correction
On a :
¬(∃x∈R⋆, ∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y)⟺(∀x∈R⋆, ¬(∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y))\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \neg\big( \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg)
Mais aussi :
(∀x∈R⋆, ¬(∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y))⟺(∀x∈R⋆, ∀y∈R, ¬(∀n∈N, nx⩽y))\bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \neg\big( \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \neg \big( \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg)
On a également :
(∀x∈R⋆, ∀y∈R, ¬(∀n∈N, nx⩽y))⟺(∀x∈R⋆, ∀y∈R, ∃n∈N, nx>y)\bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \neg \big( \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, nx > y \bigg)
Et finalement :
¬(∃x∈R⋆, ∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y)⟺(∀x∈R⋆, ∀y∈R, ∃n∈N, nx>y){\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \big( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, nx > y \big) }}}
⧫  Remarque:{\color{blue}{\blacklozenge\,\, \bf{Remarque :}}}
L'assertion initiale proposée dans cette question, à savoir ∃x∈R⋆, ∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y\exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y est la négation trouvée lors de la question 11 précédente. On aurait donc pu directement écrire que :
¬(∃x∈R⋆, ∃y∈R, ∀n∈N, nx⩽y)⟺(∀(x,y)∈R2, ((x∈R+⋆)∧(y∈R+))⟹(∃n∈N, nx>b)){\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \bigg( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) }}}
Question 3

∀x∈E, ∃y∈E, x×y=1\forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1

Correction
On a :
¬(∀x∈E, ∃y∈E, x×y=1)⟺(∃x∈E, ¬(∃y∈E, x×y=1))\neg \big( \forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \Longleftrightarrow \bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \neg \big( \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \bigg)
Mais on a également :
(∃x∈E, ¬(∃y∈E, x×y=1))⟺(∃x∈E, ∀y∈E, x×y≠1) \bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \neg \big( \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \forall y \in \mathbb{E}, \, x \times y \neq 1 \bigg)
Finalement :
¬(∀x∈E, ∃y∈E, x×y=1)⟺(∃x∈E, ∀y∈E, x×y≠1){\color{red}{\boxed{ \neg \big( \forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \Longleftrightarrow \big( \exist x \in \mathbb{E}, \, \forall y \in \mathbb{E}, \, x \times y \neq 1 \big) }}}
Question 4

Discuter de la vérité de l'assertion précédente :
∀x∈E, ∃y∈E, x×y=1\forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1

Correction
Cette assertion est fausse dans R\mathbb{R}, à cause des cas possible x=0x = 0 et, ou, y=0y=0.
En revanche, dans R⋆\mathbb{R}^\star cette assertion est vraie car les cas x=0x = 0 et, ou, y=0y=0 sont alors impossibles car exclus.