Exercice 8 - Exercice 1

On a l'équation différentielle ordinaire suivante :
$$f'(t) + 3 \, f(t) = e^{-t}$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de l'équation précédente. On a alors :
$$TL_p \left[ f'(t) + 3 \, f(t) \right] = TL_p \left[ e^{-t} \right]$$
Par linéarité, on a
$$TL_p \left[ f'(t) \right] + 3 \, TL_p \left[ f(t) \right] = TL_p \left[ e^{-t} \right]$$
On adopte la notion usuelle, à savoir $$F(p) = TL_p \left[ f(t) \right]$$. On a alors :
$$p F(p) - f(0) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p+1}$$
En tenant compte de la condition initiale, on obtient :
$$p F(p) - 2 + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p+1}$$
Soit :
$$p F(p) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p+1} +2$$
Soit encore :
$$\left( p + 3 \right) F(p) = \dfrac{1}{p+1} + \dfrac{2p+2}{p+1}$$
Ainsi :
$$\left( p + 3 \right) F(p) = \dfrac{2p+3}{p+1}$$
Donc :
$$F(p) = \dfrac{2p+3}{(p+1)(p+3)}$$
Réalisons une décomposition en éléments simples. Avec $$A$$ et $$B$$ qui sont deux nombres entiers, on obtient :
$$\dfrac{2p+3}{(p+1)(p+3)} = \dfrac{A}{p+1} + \dfrac{B}{p+3}$$
D'où :
$$\dfrac{2p+3}{p+3} = A\dfrac{p+1}{p+1} + \dfrac{B(p+1)}{p+3}$$
En simplifiant :
$$\dfrac{2p+3}{p+3} = A + \dfrac{B(p+1)}{p+3}$$
Posons $$p=-1$$, on a alors :
$$\dfrac{2(-1)+3}{-1+3} = A + \dfrac{B(-1+1)}{-1+3}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{2} = A + \dfrac{B(0)}{2}$$
On a immédiatement $$A = \dfrac{1}{2}$$. D'où :
$$\dfrac{2p+3}{(p+1)(p+3)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p+1} + \dfrac{B}{p+3}$$
Puis, on a également :
$$\dfrac{2p+3}{p+1} = \dfrac{1}{2}\dfrac{p+3}{p+1} + B\dfrac{p+3}{p+3}$$
En simplifiant :
$$\dfrac{2p+3}{p+1} = \dfrac{1}{2}\dfrac{p+3}{p+1} + B$$
Posons $$p=-3$$, on a alors :
$$\dfrac{2(-3)+3}{-3+1} = \dfrac{1}{2}\dfrac{-3+3}{-3+1} + B$$
Soit :
$$\dfrac{-3}{-2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{0}{-2} + B$$
On a immédiatement $$A = \dfrac{3}{2}$$. D'où :
$$\dfrac{2p+3}{(p+1)(p+3)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p+1} + \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p+3}$$
De fait, on obtient :
$$F(p) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p+1} + \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p+3}$$
Soit encore :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = \dfrac{1}{2} \, TL_p \left[ e^{-t} \right] + \dfrac{3}{2} \, TL_p \left[ e^{-3t} \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = TL_p \left[ \dfrac{1}{2} \, e^{-t} + \dfrac{3}{2} \, e^{-3t} \right]$$
Donc :
$$f(t) = \dfrac{1}{2} \, e^{-t} + \dfrac{3}{2} \, e^{-3t}$$
Soit :
$$f(t) = \dfrac{1}{2} \left( e^{-t} + 3 \, e^{-3t} \right)$$
Soit encore :
$$f(t) = \dfrac{e^{-t}}{2} \left( 1 + 3 \, e^{-2t} \right)$$
Afin de faire explicitement apparaître le caractère causal de la solution $$f$$ recherchée, introduisons l'échelon unité $$\mathcal{U}(t)$$. On a alors :
$$f(t) = \dfrac{e^{-t}}{2} \left( 1 + 3 \, e^{-2t} \right) \mathcal{U}(t)$$