Exercice 7 - Exercice 1

On a l'équation différentielle ordinaire suivante :
$$f''(t) - 4\, f'(t) +3 \, f(t) = e^{2t}$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de l'équation précédente. On a alors :
$$TL_p \left[ f''(t) - 4\, f'(t) +3 \, f(t) \right] = TL_p \left[ e^{2t} \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p \left[ f''(t) \right] - 4\, TL_p \left[ f'(t) \right] + 3 \, TL_p \left[ f(t) \right] = TL_p \left[ e^{2t} \right]$$
On adopte la notation usuelle $$F(p) = TL_p \left[ f(t) \right]$$. Dans ce cas, on obtient :
$$p^2 F(p) - pf(0) - f'(0) - 4\, \left( p F(p) - f(0) \right) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p-2}$$
En tenant compte des conditions initiales, on a alors :
$$p^2 F(p) - p0 -(-2) - 4\, \left( p F(p) - 0 \right) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p-2}$$
Soit :
$$p^2 F(p) + 2 - 4p F(p) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p-2}$$
Soit encore :
$$p^2 F(p) - 4p F(p) + 3 \, F(p) = \dfrac{1}{p-2} - 2$$
En factorisant :
$$\left( p^2 - 4p + 3 \right) F(p) = \dfrac{1}{p-2} - \dfrac{2p-4}{p-2}$$
Ce qui va pouvoir s'écrire comme :
$$\left( p^2 - 4p + 3 \right) F(p) = \dfrac{-2p+5}{p-2}$$
Or, le polynôme du second degré $$p^2 - 4p + 3$$ admet deux racines réelles distinctes qui sont $$1$$ et $$3$$. De fait, on a :
$$p^2 - 4p + 3 = (p-1) (p-3)$$
Donc :
$$(p-1) (p-3)F(p) = \dfrac{-2p+5}{p-2}$$
Ainsi :
$$F(p) = - \dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) (p-3)}$$
Effectuons maintenant une décomposition en éléments simples. Avec $$A$$, $$B$$ et $$C$$, qui sont trois nombres réels, on a :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) (p-3)} = \dfrac{A}{p-1} + \dfrac{B}{p-2} +\dfrac{C}{p-3}$$
Donc, on a également :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-3)} = A\dfrac{p-1}{p-1} + \dfrac{B(p-1)}{p-2} +\dfrac{C(p-1)}{p-3}$$
Soit :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-3)} = A + \dfrac{B(p-1)}{p-2} +\dfrac{C(p-1)}{p-3}$$
Posons maintenant $$p=1$$, ainsi :
$$\dfrac{-2\times1+5}{(1-2)(1-3)} = A + \dfrac{B(1-1)}{1-2} +\dfrac{C(1-1)}{1-3}$$
D'où :
$$\dfrac{3}{2} = A + \dfrac{B0}{-1} +\dfrac{C0}{-2}$$
On a immédiatement $$A = \dfrac{3}{2}$$. Donc :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) (p-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-1} + \dfrac{B}{p-2} +\dfrac{C}{p-3}$$
On a également :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-1) (p-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{p-2}{p-1} + B\dfrac{p-2}{p-2} +\dfrac{C(p-2)}{p-3}$$
Donc :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-1) (p-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{p-2}{p-1} + B +\dfrac{C(p-2)}{p-3}$$
Posons maintenant $$p=2$$, ainsi :
$$\dfrac{-2\times 2 +5}{(2-1) (2-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{2-2}{2-1} + B +\dfrac{C(2-2)}{2-3}$$
Soit :
$$\dfrac{1}{-1} = \dfrac{3}{2}\dfrac{0}{1} + B +\dfrac{C0}{-1}$$
On a immédiatement $$B=-1$$. D'où :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) (p-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{1}{p-2} +\dfrac{C}{p-3}$$
On a également :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) } = \dfrac{3}{2}\dfrac{p-3}{p-1} - \dfrac{p-3}{p-2} + C\dfrac{p-3}{p-3}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) } = \dfrac{3}{2}\dfrac{p-3}{p-1} - \dfrac{p-3}{p-2} + C$$
Posons maintenant $$p=3$$, ainsi :
$$\dfrac{-2\times 3+5}{(3-2)(3-1) } = \dfrac{3}{2}\dfrac{3-3}{3-1} - \dfrac{3-3}{3-2} + C$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{-1}{2 } = \dfrac{3}{2}\dfrac{0}{2} - \dfrac{0}{1} + C$$
On a immédiatement $$C = - \dfrac{1}{2}$$. Ainsi :
$$\dfrac{-2p+5}{(p-2)(p-1) (p-3)} = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{1}{p-2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{p-3}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$F(p) = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{1}{p-2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{p-3}$$
Soit encore :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = \dfrac{3}{2} \, TL_p \left[ e^{t} \right] - TL_p \left[ e^{2t} \right] - \dfrac{1}{2} \, TL_p \left[ e^{3t} \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = TL_p \left[ \dfrac{3}{2} \, e^{t} - e^{2t} - \dfrac{1}{2} \, e^{3t} \right]$$
Ainsi :
$$f(t) = \dfrac{3}{2} \, e^{t} - e^{2t} - \dfrac{1}{2} \, e^{3t}$$
Pour faire apparaître le caractère causal qui est associé à la fonction $$f$$, on va faire explicitement apparaître l'échelon unitaire. Finalement, on obtient la solution suivante :
$$f(t) = \left( \dfrac{3}{2} \, e^{t} - e^{2t} - \dfrac{1}{2} \, e^{3t} \right) \, \mathcal{U}(t)$$