Exercice 6 - Exercice 1

Prenons la transformée de Laplace des deux membres de l'équation précédente. On a alors :
$$TL_p \left[ f''(x) - 3f'(x) + 2f(x) \right] = TL_p \left[ 1 \right]$$
Par linéarité :
$$TL_p \left[ f''(x) \right] - 3 \, TL_p \left[ f'(x) \right] + 2 \, TL_p \left[ f(x) \right] = TL_p \left[ 1 \right]$$
Comme nous recherchons une solution causale, nous allons faire apparaitre l'échelon unité à la place du $$1$$ du second membre. On a alors :
$$TL_p \left[ f''(x) \right] - 3 \, TL_p \left[ f'(x) \right] + 2 \, TL_p \left[ f(x) \right] = TL_p \left[ \mathcal{U}(x) \right]$$
Si on adopte la notation usuelle $$F(p) = TL_p \left[ f(x) \right]$$, alors nous pouvons écrire que :
$$p^2 F(p) - pf(0) - f'(0) - 3 \, \left( p F(p) - f(0) \right) + 2 \, F(p) = \dfrac{1}{p}$$
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
$$p^2 F(p) - p0 - 3 - 3 \, \left( p F(p) - 0 \right) + 2 \, F(p) = \dfrac{1}{p}$$
Soit :
$$p^2 F(p) - 3 - 3p \, F(p) + 2 \, F(p) = \dfrac{1}{p}$$
Soit encore :
$$p^2 F(p) - 3p \, F(p) + 2 \, F(p) = \dfrac{1}{p} + 3$$
En factorisant :
$$\left( p^2 - 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{1}{p} + \dfrac{3p}{p}$$
D'où :
$$\left( p^2 - 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{3p+1}{p}$$
Or, le polynôme du second degré $$p^2 - 3p + 2$$ admet deux racines réelles distinctes, à savoir $$1$$ et $$2$$. On a donc la factorisation suivante :
$$p^2 - 3p + 2 = (p-1) (p-2)$$
Ainsi :
$$(p-1) (p-2) \, F(p) = \dfrac{3p+1}{p}$$
Soit :
$$F(p) = \dfrac{3p+1}{p(p-1) (p-2)}$$
On considère les trois nombres réels $$A$$, $$B$$ et $$C$$. On a alors la décomposition en éléments simples suivante :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1) (p-2)} = \dfrac{A}{p} + \dfrac{B}{p-1} + \dfrac{C}{p-2}$$
Donc :
$$\dfrac{3p+1}{(p-1) (p-2)} = A\dfrac{p}{p} + \dfrac{Bp}{p-1} + \dfrac{Cp}{p-2}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{3p+1}{(p-1) (p-2)} = A + \dfrac{Bp}{p-1} + \dfrac{Cp}{p-2}$$
Posons $$p=0$$, on a alors :
$$\dfrac{3\times 0 +1}{(0-1) (0-2)} = A + \dfrac{B0}{p-1} + \dfrac{C0}{p-2}$$
Ce qui nous donne immédiatement $$A = \dfrac{1}{2}$$ et de fait :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1) (p-2)} = \dfrac{1}{2p} + \dfrac{B}{p-1} + \dfrac{C}{p-2}$$
Puis, on a :
$$\dfrac{3p+1}{p (p-2)} = \dfrac{p-1}{2p} + B\dfrac{p-1}{p-1} + \dfrac{C(p-1)}{p-2}$$
D'où :
$$\dfrac{3p+1}{p (p-2)} = \dfrac{p-1}{2p} + B + \dfrac{C(p-1)}{p-2}$$
Posons $$p=1$$, on a alors :
$$\dfrac{3\times 1+1}{1 (1-2)} = \dfrac{1-1}{2\times1} + B + \dfrac{C(1-1)}{1-2}$$
Soit :
$$\dfrac{4}{-1} = \dfrac{0}{2} + B + \dfrac{C0}{-1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -4 = B$$
Ce qui nous donne donc $$B =-4$$ et de fait :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1) (p-2)} = \dfrac{1}{2p} - \dfrac{4}{p-1} + \dfrac{C}{p-2}$$
Puis, on a aussi :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1)} = \dfrac{p-2}{2p} - \dfrac{4(p-2)}{p-1} + C\dfrac{p-2}{p-2}$$
Soit :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1)} = \dfrac{p-2}{2p} - \dfrac{4(p-2)}{p-1} + C$$
Posons $$p=2$$. On obtient :
$$\dfrac{3\times2+1}{2(2-1)} = \dfrac{2-2}{2\times2} - \dfrac{4(2-2)}{2-1} + C$$
Ainsi :
$$\dfrac{7}{2} = \dfrac{0}{4} - \dfrac{4(0)}{1} + C$$
On obtient alors immédiatement $$C = \dfrac{7}{2}$$. D'où :
$$\dfrac{3p+1}{p(p-1) (p-2)} = \dfrac{1}{2p} - 4\dfrac{1}{p-1} + \dfrac{7}{2}\dfrac{1}{p-2}$$
On a alors :
$$F(p) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p} - 4\dfrac{1}{p-1} + \dfrac{7}{2}\dfrac{1}{p-2}$$
D'après la table du cours, on peut écrire que :
$$TL_p \left[ f(x) \right] = \dfrac{1}{2} TL_p \left[ 1 \right] - 4 \, TL_p \left[ e^x \right] + \dfrac{7}{2} \, TL_p \left[ e^{2x} \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p \left[ f(x) \right] = TL_p \left[ \dfrac{1}{2} - 4 \, e^x + \dfrac{7}{2} e^{2x} \right]$$
Ainsi, on a :
$$f(x) = \dfrac{1}{2} - 4 \, e^x + \dfrac{7}{2} e^{2x}$$
Afin de faire clairement apparaitre le caractère causal qui est demandé dans la question, nous allons introduire l'échelon unité $$\mathcal{U}(x)$$. On obtient finalement :
$$f(x) = \left( \dfrac{1}{2} - 4 \, e^x + \dfrac{7}{2} e^{2x} \right) \, \mathcal{U}(x)$$