Exercice 5 - Exercice 1

Prenons la transformée de Laplace de cette équation différentielle. On a alors :
$$TL_p\left[ f''(x) + \omega_0^2 f(x) \right] = TL_p\left[ 0 \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p\left[ f''(x) \right] + \omega_0^2 \, TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ 0 \right]$$
Notons $$F(p) = TL_p\left[ f(x) \right]$$. On a alors :
$$p^2 F(p) - p f(0) - f'(0) + \omega_0^2 \, F(p) = 0$$
En tenant compte des conditions initiales, on a :
$$p^2 F(p) - p f_0 - v_0 + \omega_0^2 \, F(p) = 0$$
Soit :
$$p^2 F(p) + \omega_0^2 \, F(p) = p f_0 + v_0$$
En factorisant :
$$\left( p^2 + \omega_0^2 \right) F(p) = p f_0 + v_0$$
Soit encore :
$$F(p) = \dfrac{p f_0 + v_0}{ p^2 + \omega_0^2 }$$
Ce qui va également s'écrire comme :
$$F(p) = \dfrac{p f_0}{ p^2 + \omega_0^2 } + \dfrac{v_0}{ p^2 + \omega_0^2 }$$
Nous allons écrire cela comme :
$$F(p) = f_0 \dfrac{p}{ p^2 + \omega_0^2 } + v_0\dfrac{1}{ p^2 + \omega_0^2 }$$
On a également l'écriture suivante :
$$F(p) = f_0 \dfrac{p}{ p^2 + \omega_0^2 } + \dfrac{v_0}{\omega_0}\dfrac{\omega_0}{ p^2 + \omega_0^2 }$$
Nous pouvons écrire ceci comme :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 TL_p\left[ \cos(\omega_0x) \right] + \dfrac{v_0}{\omega_0} TL_p\left[ \sin(\omega_0x) \right]$$
Par linéarité, on a :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) \right]$$
Finalement, on obtient l'expression recherchée, à savoir :
$$f(x) = f_0 \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x)$$
Pour clairement faire apparaître le caractère causale de la fonction $$f$$ recherchée, introduisons l'échelon unité. On a alors :
$$f(x) = \left( f_0 \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) \right) \, \mathcal{U}(x)$$