Exercice 4 - Exercice 1

Comme on recherche une fonction causale, introduisons l'échelon unité dans l'équation différentielle proposée ci-avant :
$$\dfrac{d^2f}{dt^2}(t) - 3\dfrac{df}{dt}(t) + 2f(t) = e^{4t} \mathcal{U}(t)$$
Prenons maintenant la transformée de Laplace de chaque membre de cette équation. On a alors :
$$TL_p\left[\dfrac{d^2f}{dt^2}(t) - 3\dfrac{df}{dt}(t) + 2f(t) \right] = TL_p\left[ e^{4t} \, \mathcal{U}(t) \right]$$
Par linéarité de la transformée de Laplace, on obtient alors :
$$TL_p\left[ \dfrac{d^2f}{dt^2}(t) \right] - 3 \, TL_p\left[ \dfrac{df}{dt}(t) \right] + 2\, TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ e^{4t} \, \mathcal{U}(t) \right]$$
On va adopter la notation usuelle $$TL_p\left[f(t) \right] = F(p)$$, avec $$p \in \mathbb{C}$$. D'après les propriétés de la transformée de Laplace, on a alors :
$$\left( p^2 F(p) - pf(0) - f'(0) \right) - 3 \left( p F(p) - f(0) \right) + 2\, F(p) = \dfrac{1}{p-4}$$
En faisant usage des conditions initiales, on a alors :
$$\left( p^2 F(p) - p1 - 0 \right) - 3 \left( p F(p) - 1 \right) + 2\, F(p) = \dfrac{1}{p-4}$$
Soit :
$$p^2 F(p) - p -3p \, F(p) + 3 + 2\, F(p) = \dfrac{1}{p-4}$$
Soit :
$$p^2 F(p) -3p \, F(p) + 2\, F(p) = p + \dfrac{1}{p-4} - 3$$
En isolant $$F(p)$$, on obtient :
$$\left( p^2 - 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{1}{p-4} + \dfrac{(p - 3)(p-4)}{p-4}$$
Or, le polynôme du second degré, en $$p$$, $$p^2 - 3p + 2$$ admet deux racines réelles distinctes qui sont $$p=1$$ et $$p=2$$ (le discriminant associé étant $$\Delta = 1$$). Donc on a la factorisation suivante :
$$p^2 - 3p + 2 = (p-1) \, (p-2)$$
Ainsi :
$$(p-1) \, (p-2) F(p) = \dfrac{1}{p-4} + \dfrac{(p - 3)(p-4)}{p-4}$$
De plus, on a :
$$\dfrac{1}{p-4} + \dfrac{(p - 3)(p-4)}{p-4} = \dfrac{1+(p - 3)(p-4)}{p-4} = \dfrac{1 + p^2-7p+12}{p-4} = \dfrac{p^2-7p+13}{p-4}$$
Le polynôme du second degré $$p^2-7p+13$$ n'admet pas de racine réelle. Donc nous allons le laisser sous sa forme développée. On a alors :
$$F(p) = \dfrac{p^2-7p+13}{(p-1) \, (p-2) \, (p-4)}$$
En décomposant en élément simples, on peut écrire, avec les trois nombres réels $$A$$, $$B$$ et $$C$$, que :
$$\dfrac{p^2-7p+13}{(p-1) \, (p-2) \, (p-4)} = \dfrac{A}{p-1} + \dfrac{B}{p-2} + \dfrac{C}{p-4}$$
En posant $$p=0$$, on trouve que :
$$\dfrac{13}{(-1) \, (-2) \, (-4)} = \dfrac{A}{-1} + \dfrac{B}{-2} + \dfrac{C}{-4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{13}{8} = A + \dfrac{B}{2} + \dfrac{C}{4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{13}{2} = 4A + 2B + C$$
Donc :
$$C = \dfrac{13}{2} - 4A - 2B$$
Puis, on a :
$$\dfrac{p^2-7p+13}{ (p-2) \, (p-4)} = A + B\dfrac{p-1}{p-2} + C\dfrac{p-1}{p-4}$$
Posons alors $$p=1$$, dans ce cas on a :
$$\dfrac{1^2-7+13}{ (1-2) \, (1-4)} = A + B\dfrac{1-1}{p-2} + C\dfrac{1-1}{p-4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{7}{ (-1) \, (-3)} = A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{7}{3} = A$$
On peut également écrire que :
$$\dfrac{p^2-7p+13}{(p-1) \, (p-4)} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{p-2}{p-1} + B + C\dfrac{p-2}{p-4}$$
Posons maintenant $$p=2$$. On a alors :
$$\dfrac{2^2-7\times 2+13}{(2-1) \, (2-4)} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{2-2}{p-1} + B + C\dfrac{2-2}{p-4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{4-14+13}{1 \, (-2)} = B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, - \dfrac{3}{2} = B$$
De fait, on a immédiatement :
$$C = \dfrac{13}{2} - 4\times \dfrac{7}{3} - 2 \times \left( - \dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{13}{2} - \dfrac{28}{3} + 3 = \dfrac{39}{6} - \dfrac{56}{6} + \dfrac{18}{6} = \dfrac{39 + 18 - 56}{6} = \dfrac{57 - 56}{6} = \dfrac{1}{6}$$
De fait, on obtient :
$$\dfrac{p^2-7p+13}{(p-1) \, (p-2) \, (p-4)} = \dfrac{7}{3}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{1}{6}\dfrac{1}{p-4}$$
Ain, on obtient :
$$F(p) = \dfrac{7}{3}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{1}{6}\dfrac{1}{p-4}$$
Mais, on sait que $$F(p) = TL_p\left[f(t) \right]$$, ceci nous permet d'écrire que :
$$TL_p\left[f(t) \right] = \dfrac{7}{3}\dfrac{1}{p-1} - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{1}{6}\dfrac{1}{p-4}$$
Donc, on a également :
$$TL_p\left[f(t) \right] = \dfrac{7}{3} \, TL_p\left[ e^{t} \right] - \dfrac{3}{2} \, TL_p\left[ e^{2t} \right] + \dfrac{1}{6} \, TL_p\left[ e^{4t} \right]$$
Soit :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{7}{3} \, e^{t} \right] + TL_p\left[ - \dfrac{3}{2} \, e^{2t} \right] + TL_p\left[ \dfrac{1}{6} \, e^{4t} \right]$$
Par linéarité de la transformation de Laplace, on a :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{7}{3} \, e^{t} - \dfrac{3}{2} \, e^{2t} + \dfrac{1}{6} \, e^{4t} \right]$$
Afin de satisfaire à la condition de causalité, introduisons l'échelon unité $$\mathcal{U}(t)$$ :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \left( \dfrac{7}{3} \, e^{t} - \dfrac{3}{2} \, e^{2t} + \dfrac{1}{6} \, e^{4t} \right) \mathcal{U}(t) \right]$$
Graphiquement, on observe que :