Exercice 3 - Exercice 1

Comme on recherche une fonction causale, introduisons l'échelon unité dans l'équation différentielle proposée :
$$\dfrac{df}{dt}(t) + f(t) = e^t \mathcal{U}(t)$$
Prenons maintenant la transformée de Laplace de chaque membre de cette équation. On a alors :
$$TL_p\left[\dfrac{df}{dt}(t) + f(t) \right] = TL_p\left[ e^t \mathcal{U}(t) \right]$$
Par linéarité de la transformée de Laplace, on obtient alors :
$$TL_p\left[ \dfrac{df}{dt}(t) \right] + TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ e^t \mathcal{U}(t) \right]$$
On va adopter la notation usuelle $$TL_p\left[f(t) \right] = F(p)$$, avec $$p \in \mathbb{C}$$. D'après les propriétés de la transformée de Laplace, on a alors :
$$\left( p F(p) - f(0) \right) + F(p) = \dfrac{1}{p -1}$$
En faisant usage de la condition initiale, on a alors :
$$\left( p F(p) - 1 \right) + F(p) = \dfrac{1}{p-1}$$
Soit :
$$p F(p) - 1 + F(p) = \dfrac{1}{p-1}$$
En isolant $$F(p)$$, on obtient :
$$p F(p) + F(p) = \dfrac{1}{p-1} + 1$$
Soit :
$$(p+1) F(p) = \dfrac{1}{p-1} + 1$$
Ainsi :
$$F(p) = \dfrac{1}{(p-1)(p+1)} + \dfrac{1}{p+1}$$
En réduisant au même dénominateur :
$$F(p) = \dfrac{1}{(p-1)(p+1)} + \dfrac{p-1}{(p-1)(p+1)}$$
Puis sous une fraction uique :
$$F(p) = \dfrac{1+p-1}{(p-1)(p+1)}$$
En simplifiant :
$$F(p) = \dfrac{p}{(p-1)(p+1)}$$
En décomposant en élément simples, on peut écrire que :
$$\dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{A}{p+1} + \dfrac{B}{p-1}$$
Dans cette dernière relation, les deux quantités $$A$$ et $$B$$ sont deux nombres réels. Si on pose $$p = 0$$ alors on obtient :
$$\dfrac{0}{(0-1)(0+1)} = \dfrac{A}{0+1} + \dfrac{B}{0-1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = A-B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, B=A$$
Donc :
$$\dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{A}{p+1} + \dfrac{A}{p-1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{A(p-1)}{(p-1)(p+1)} + \dfrac{A(p+1)}{(p-1)(p+1)}$$
Soit :
$$\dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{A(p-1) + A(p+1)}{(p-1)(p+1)} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{Ap-A + Ap+A}{(p-1)(p+1)}$$
Soit encore :
$$\dfrac{p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{2Ap}{(p-1)(p+1)} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1p}{(p-1)(p+1)} = \dfrac{2Ap}{(p-1)(p+1)}$$
Par identification on a immédiatement $$2A = 1$$ et de fait $$A = \dfrac{1}{2}$$. On a alors $$A = B = \dfrac{1}{2}$$. On peut alors écrire que :
$$F(p) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{p+1} + \dfrac{1}{p-1} \right)$$
Ceci peut également s'écrire comme :
$$TL_p\left[f(t) \right] = \dfrac{1}{2} \left( TL_p\left[e^{-t} \right] + TL_p\left[e^{t} \right] \right)$$
Par linéarité, on a :
$$TL_p\left[f(t) \right] = \dfrac{1}{2} \left( TL_p\left[e^{-t} + e^t\right] \right)$$
D'où :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{e^{-t} + e^t}{2} \right]$$
mais, on sait que :
$$\dfrac{e^{-t} + e^t}{2} = \cosh(t)$$
Ce qui nous donne :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \cosh(t) \right]$$
Nous allons introduire l'échelon unité afin de s'assurer d'une réponse recherchée qui soit bien causale. Donc on a également:
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \cosh(t) \,\mathcal{U}(t)\right]$$
Finalement, on trouve que :
$$f(t) = \cosh(t) \, \mathcal{U}(t)$$
On peut vérifier graphiquement que la condition initiale imposée est bien satisfaite :