Exercice 2 - Exercice 1

Comme on recherche une fonction causale, introduisons l'échelon unité dans l'équation différentielle proposée :
$$\dfrac{d^2f}{dt^2}(t) + 4f(t) = \cos(3t) \mathcal{U}(t)$$
Prenons maintenant la transformée de Laplace de chaque membre de cette équation. On a alors :
$$TL_p\left[\dfrac{d^2f}{dt^2}(t) + 4f(t) \right] = TL_p\left[ \cos(3t) \mathcal{U}(t) \right]$$
Par linéarité de la transformée de Laplace, on obtient alors :
$$TL_p\left[ \dfrac{d^2f}{dt^2}(t) \right] + 4 \, TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \cos(3t) \mathcal{U}(t) \right]$$
On va adopter la notation usuelle $$TL_p\left[f(t) \right] = F(p)$$, avec $$p \in \mathbb{C}$$. D'après les propriétés de la transformée de Laplace, on a alors :
$$\left( p^2 F(p) - pf(0) - f'(0) \right) + 4 \, F(p) = \dfrac{p}{p^2 + 9}$$
En faisant usage des conditions initiales, on a alors :
$$\left( p^2 F(p) - p - 0 \right) + 4 \, F(p) = \dfrac{p}{p^2 + 9}$$
Soit :
$$p^2 F(p) - p + 4 \, F(p) = \dfrac{p}{p^2 + 9}$$
En isolant $$F(p)$$, on obtient :
$$\left( p^2 + 4 \right) F(p) = p + \dfrac{p}{p^2 + 9}$$
Ainsi :
$$F(p) = \dfrac{p}{p^2 + 4} + \dfrac{p}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)}$$
En décomposant en élément simples, on peut écrire que :
$$\dfrac{p}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = \dfrac{Ap+B}{p^2 + 9} + \dfrac{Cp+D}{p^2 + 4}$$
Dans cette relation, les quatre quantités $$A$$, $$B$$, $$C$$ et $$D$$ sont des nombres réels. Si $$p=0$$ alors on constate que :
$$\dfrac{0}{\left(0^2 + 9 \right) \left( 0^2 + 4 \right)} = \dfrac{A0+B}{0^2 + 9} + \dfrac{C0+D}{0^2 + 4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = \dfrac{B}{9} + \dfrac{D}{4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 4B = - 9D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, D = - \dfrac{4}{9} B$$
Si maintenant on pose $$p=1$$ alors on constate que :
$$\dfrac{1}{\left(1^2 + 9 \right) \left( 1^2 + 4 \right)} = \dfrac{A1+B}{1^2 + 9} + \dfrac{C1 - \dfrac{4}{9} B}{1^2 + 4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{50} = \dfrac{A+B}{10} + \dfrac{C - \dfrac{4}{9} B}{5} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{10} = \dfrac{A+B}{2} + C - \dfrac{4}{9} B$$
Soit :
$$1 = 5A + 5B + 10C - \dfrac{40}{9} B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 5A + 10 C + \dfrac{45}{9} B - \dfrac{40}{9} B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 5A + \dfrac{5}{9} B + 10 C$$
Soit encore :
$$1 - 5A - 10 C = \dfrac{5}{9} B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A + 2C - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{1}{9} B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 4A + 8C - \dfrac{4}{5} = -\dfrac{4}{9} B$$
De plus, ceci nous permet d'écrire que :
$$B = -9A - 18C + \dfrac{9}{5}$$
Ainsi, on a :
$$\dfrac{p}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = \dfrac{Ap -9A - 18C + \dfrac{9}{5}}{p^2 + 9} + \dfrac{Cp+4A + 8C - \dfrac{4}{5}}{p^2 + 4}$$
En réduisant au même dénominateur, on trouve que :
$$\dfrac{p}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = \dfrac{\left( p^2 + 4 \right)\left( Ap -9A - 18C + \dfrac{9}{5} \right) + \left( p^2 + 9 \right) \left( Cp+4A + 8C - \dfrac{4}{5}\right)}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)}$$
D'où, en développant puis en regroupant après, on obtient :
$$\dfrac{0p^3+0p^2+1p+0}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = \dfrac{(A+C)p^3 + (1 - 5A - 10 C)p^2 + (4A+9C)p+0}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)}$$
Mais, on sait que $$1 - 5A - 10 C = \dfrac{5}{9} B$$, d'où :
$$\dfrac{0p^3+0p^2+1p+0}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = \dfrac{(A+C)p^3 + \dfrac{5}{9} Bp^2 + (4A+9C)p+0}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)}$$
Par identification, on trouve que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A+C & = & 0 \\ \dfrac{5}{9} B & = & 0 \\ 4A+9C & = & 1\end{array} \right.$$
Donc $$C = - A$$ et $$B = 0$$. De fait $$D = 0$$ également et on a donc $$4A - 9A = 1$$. Ainsi $$-5A = 1$$ et on en déduit immédiatement que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & -\dfrac{1}{5} \\ B & = & 0 \\ C & = & \dfrac{1}{5} \\ D & = & 0\end{array} \right.$$
Ainsi :
$$\dfrac{p}{\left(p^2 + 9 \right) \left( p^2 + 4 \right)} = -\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 9} + \dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 4}$$
Ce qui implique que :
$$F(p) = \dfrac{p}{p^2 + 4} -\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 9} + \dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, F(p) = \dfrac{6}{5}\dfrac{p}{p^2 + 4} -\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 9}$$
Nous allons écrire ceci comme :
$$F(p) = \dfrac{6}{5}\dfrac{p}{p^2 + 2^2} -\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{p^2 + 3^2}$$
D'où :
$$TL_p\left[f(t) \right] = \dfrac{6}{5} TL_p\left[ \cos(2t) \mathcal{U}(t) \right] - \dfrac{1}{5} TL_p\left[ \cos(3t) \mathcal{U}(t) \right]$$
Soit :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{6}{5} \cos(2t) \mathcal{U}(t) \right] + TL_p\left[ - \dfrac{1}{5}\cos(3t) \mathcal{U}(t) \right]$$
Soit encore :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{6}{5} \cos(2t) \mathcal{U}(t) - \dfrac{1}{5}\cos(3t) \mathcal{U}(t) \right]$$
En factorisant :
$$TL_p\left[f(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{1}{5} \left( 6\cos(2t) - \cos(3t) \right) \mathcal{U}(t) \right]$$µ
Finalement :
$$f(t) = \dfrac{1}{5} \left( 6\cos(2t) - \cos(3t) \right) \mathcal{U}(t)$$
On vérifie graphiquement que les deux conditions initiales sont bien simultanément satisfaites :