Exercice 19 - Exercice 1

La première des chose est de construire la droite croissante, support du premier segment. L'aspect causal va nous obliger à faire usage de l'échelon unité. Cette droite est donnée par le terme $$x \, \mathcal{U}(x)$$. On a alors :

Puis, il nous faut éliminer la partie croissante qui correspond à des abscisses $$x \geqslant 1$$. Pour annuler cette partie, nous allons introduire, au travers d'une addition, à partir de $$x = 1$$, par l'usage de l'échelon $$\mathcal{U}(x-1)$$, la droite $$y = -x + 1$$ ; soit le terme $$(-x+1) \mathcal{U}(x-1)$$. On a alors :

Nous allons construire maintenant le segment qui existe entre les abscisses $$x=1$$ et $$x=2$$. Pour cela, nous allons commencer par ajouter la droite, au travers d'une addition, à partir de $$x = 1$$, par l'usage de l'échelon $$\mathcal{U}(x-1)$$, à nouveau la droite $$y = -x + 1$$ ; soit le terme $$(-x+1) \mathcal{U}(x-1)$$. Ainsi à l'issue du premier segment, qui se trouve entre les abscisses $$x=0$$ et $$x=1$$, vient s'ajouter une demi-droite décroissante. On a alors :

Il nous faut maintenant annuler la partie de cette dernière droite qui se trouve à des abscisses $$x \geqslant 2$$. Pour cela nous allons faire usage de l'échelon $$\mathcal{U}(x-2)$$ qui va agir sur la droite d'équation $$y = x-2$$. On a alors :

En respectant le schéma constructif précédemment décrit et explicité, on a alors l'expression suivante :
$$f(x) = x \, \mathcal{U}(x) + (-x+1) \mathcal{U}(x-1) + (-x+1) \mathcal{U}(x-1) + (x-2) \mathcal{U}(x-2)$$
Finalement, on obtient donc :
$$f(x) = x \, \mathcal{U}(x) + 2(1-x) \mathcal{U}(x-1) + (x-2) \mathcal{U}(x-2)$$