Exercice 17 - Exercice 1

On donne la table des Transformées de Laplace suivante

$${\color{blue}{Fonction \,\, originale \,\, f(t)}} \rightleftarrows {\color{red}{Transformée \,\, de \,\, Laplace \,\,F(p)}}$$
$${\color{blue}{\delta(t)}} \rightleftarrows {\color{red}{1}}$$
$${\color{blue}{1}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{1}{p}}}$$
$${\color{blue}{t}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{1}{p^2}}}$$
$${\color{blue}{t^n}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{n \, !}{p^{n+1}}}}$$
$${\color{blue}{e^{-\,c\,t}}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{1}{p+c}}}$$
$${\color{blue}{a^{t}}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{1}{p -\ln(a)}}}$$
$${\color{blue}{e^{-\,c\,t} \sin(at)}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{a}{(p+c)^2+a^2}}}$$
$${\color{blue}{e^{-\,c\,t} \cos(at)}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{p+c}{(p+c)^2+a^2}}}$$
$${\color{blue}{e^{-\,c\,t} \sinh(at)}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{a}{(p+c)^2-a^2}}}$$
$${\color{blue}{e^{-\,c\,t} \cosh(at)}} \rightleftarrows {\color{red}{\dfrac{p+c}{(p+c)^2-a^2}}}$$

La $$\textit{Transformée de Laplace}$$ appliquée à l'équation différentielle $$(\mathcal{E})$$ nous donne :
$$\mathscr{L}\left( f''(t) + a^2 f(t) \right) = \mathscr{L}\left(A \sin(\omega t) \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathscr{L}\left( f''(t) \right) + a^2 \mathscr{L}\left( f(t) \right) = A \mathscr{L}\left( \sin(\omega t) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$p^2 F(p) - p f(0^+) - f(0^+) + a^2 F(p) = A \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
Soit :
$$p^2 F(p) - p - 1 + a^2 F(p) = A \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\left(p^2 + a^2 \right) F(p) = A \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} + p + 1$$
Ainsi :
$$F(p) = A \dfrac{\omega}{\left(p^2 + \omega^2\right) \left(p^2 + a^2 \right)} + \dfrac{p}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{p^2 + a^2}$$
Soit encore :
$$F(p) = A\omega \dfrac{1}{\left(p^2 + \omega^2\right) \left(p^2 + a^2 \right)} + \dfrac{p}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{p^2 + a^2}$$
Or, on a :
$$\dfrac{1}{\left(p^2 + \omega^2\right) \left(p^2 + a^2 \right)} = \dfrac{1}{\omega^2 - a^2} \left( \dfrac{1}{p^2 + a^2} - \dfrac{1}{p^2 + \omega^2} \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$F(p) = \dfrac{A\omega}{\omega^2 - a^2} \left( \dfrac{1}{p^2 + a^2} - \dfrac{1}{p^2 + \omega^2} \right) + \dfrac{p}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{p^2 + a^2}$$
Ou encore :
$$F(p) = \dfrac{A\omega}{\omega^2 - a^2} \left( \dfrac{1}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2} - \dfrac{1}{\omega} \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} \right) + \dfrac{p}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2}$$
Avec l'aide de la table des $$\textit{Transformées de Laplace}$$, on a :
$$f(t) = \dfrac{A\omega}{\omega^2 - a^2} \left( \dfrac{1}{a}\sin(at) - \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t) \right) + \cos(at) + \dfrac{1}{a}\sin(at)$$
Ce qui nous donne :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{\omega^2 - a^2} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A}{\omega^2 - a^2} \sin(\omega t) + \cos(at)$$

On pose $$\omega = a + \varepsilon$$. Dans ce cas on a :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{(a + \varepsilon)^2 - a^2} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A}{(a + \varepsilon)^2 - a^2} \sin\left((a + \varepsilon) t\right) + \cos(at)$$
Soit :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{a^2 + 2a\varepsilon + \varepsilon^2 - a^2} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A}{a^2 + 2a\varepsilon + \varepsilon^2 - a^2} \sin(a t + \varepsilon t) + \cos(at)$$
Soit encore :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} \sin(a t + \varepsilon t) + \cos(at)$$
Or, on sait que :
$$\sin(a t + \varepsilon t) = \sin(at) \cos(\varepsilon t) + \cos(at) \sin(\varepsilon t)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} \left( \sin(at) \cos(\varepsilon t) + \cos(at) \sin(\varepsilon t) \right) + \cos(at)$$
En développant :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A\omega}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} + 1 \right) \sin(at) - \dfrac{A\cos(\varepsilon t)}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} \sin(at) - \dfrac{A\sin(\varepsilon t)}{\varepsilon(2a + \varepsilon)} \cos(at) + \cos(at)$$
Ce qui nous donne bien, par factorisations élémentaires, le résultat proposé :
$$f(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A(a + \varepsilon)}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} + 1 -\dfrac{Aa\cos(\varepsilon t)}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} \right) \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A\sin(\varepsilon t)}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} \right) \cos(at)$$

On pose :
$$g(t) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} f(t)$$
On sait que lorsque $$\varepsilon \longrightarrow 0^+$$, on a $$\cos(\varepsilon t) \sim 1$$ et $$\sin(\varepsilon t) \sim \varepsilon t$$. Dans ce cas, on obtient :
$$g(t) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} f(t) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A(a + \varepsilon)}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} + 1 - \dfrac{Aa}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} \right) \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A\varepsilon t}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} \right) \cos(at) \right)$$
Ainsi, on obtient :
$$g(t) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} f(t) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{A(a + \varepsilon)}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} + 1 - \dfrac{Aa}{\varepsilon (2a + \varepsilon)} \right) \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A t}{2a + \varepsilon} \right) \cos(at) \right)$$
Mais, on se trouve dans la cas ou $$\varepsilon \longrightarrow 0^+$$. Donc, on obtient :
$$g(t) = \dfrac{1}{a} \left( \dfrac{Aa}{\varepsilon 2a} + 1 - \dfrac{Aa}{\varepsilon 2a} \right) \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A t}{2a} \right) \cos(at)$$
En simplifiant, on obtient la forme suivante :
$$g(t) = \dfrac{1}{a} \left( 0 + 1 - 0 \right) \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A t}{2a} \right) \cos(at)$$
D'où la forme finale suivante, celle proposée par le sujet, à savoir :
$$g(t) = \dfrac{1}{a} \sin(at) + \left( 1 - \dfrac{A}{2a} t \right) \cos(at)$$

La représentation graphique, sur l'intervalle $$t \in [0 \,;\,200]$$, à retenir pour l'expression $$g(t)$$ est celle de gauche, à savoir la Proposition numéro 1.
En effet, on y constate une amplitude maximale et qui est strictement croissante et linéaire.
Le phénomène mécanique $${\color{red}{\textbf{fondamental}}}$$ qui est ici mis en évidence par $$g(t)$$ est la $${\color{red}{\textbf{résonance}}}$$.