Exercice 12 - Exercice 1

On a l'équation différentielle suivante :
$$f'''(x) + f'(x) = e^x$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de l'équation différentielle précédente, on a alors :
$$TL_p \left[ f'''(x) + f'(x) \right] = TL_p \left[ e^x \right]$$
Par linéarité de la transformée de Laplace, on a :
$$TL_p \left[ f'''(x) \right] + TL_p \left[ f'(x) \right] = TL_p \left[ e^x \right]$$
En faisant usage de la notation usuelle $$TL_p \left[ f(x) \right] = F(p)$$, on obtient :
$$p^3 F(p) + p^2f(0) + pf'(0) + f(0) + p F(p) + f'(0) = TL_p \left[ e^x \right]$$
En tenant compte des trois conditions initiales, on obtient :
$$p^3 F(p) + p^20 + p0 + 0 + p F(p) + 0 = TL_p \left[ e^x \right]$$
Soit :
$$p^3 F(p) + p F(p) = TL_p \left[ e^x \right]$$
Soit encore :
$$(p^3 + p) F(p) = TL_p \left[ e^x \right]$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$p(p^2 + 1) F(p) = \dfrac{1}{p-1}$$
De fait, on a :
$$F(p) = \dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)}$$
Soient les nombres réels $$A$$, $$B$$, $$C$$ et $$D$$ tels que :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = \dfrac{A}{p} + \dfrac{Bp+C}{p^2 + 1} + \dfrac{D}{p-1}$$
Donc :
$$\dfrac{1}{(p^2 + 1)(p-1)} = A\dfrac{p}{p} + \dfrac{p(Bp+C)}{p^2 + 1} + D\dfrac{p}{p-1}$$
De fait :
$$\dfrac{1}{(p^2 + 1)(p-1)} = A + \dfrac{p(Bp+C)}{p^2 + 1} + D\dfrac{p}{p-1}$$
Posons maintenant $$p=0$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{(0^2 + 1)(0-1)} = A + \dfrac{0(B0+C)}{0^2 + 1} + D\dfrac{0}{0-1}$$
D'où :
$$\dfrac{1}{(1)(-1)} = A + 0 + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{-1} = A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{1} = A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -1 = A$$
On peut donc écrire que :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{Bp+C}{p^2 + 1} + \dfrac{D}{p-1}$$
Donc :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)} = -\dfrac{p-1}{p} + \dfrac{(p-1)(Bp+C)}{p^2 + 1} + D\dfrac{p-1}{p-1}$$
Soit :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)} = -\dfrac{p-1}{p} + \dfrac{(p-1)(Bp+C)}{p^2 + 1} + D$$
Posons maintenant $$p=1$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{1(1^2 + 1)} = -\dfrac{1-1}{1} + \dfrac{(1-1)(B1+C)}{1^2 + 1} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = -\dfrac{0}{1} + \dfrac{0(B+C)}{2} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = D$$
On peut donc écrire que :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{Bp+C}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Posons maintenant $$p=2$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{2(2^2 + 1)(2-1)} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{B2+C}{2^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2-1} \,\, \Longleftrightarrow \,\, \dfrac{1}{2(5)1} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{2B+C}{5} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1} \,\, \Longleftrightarrow \,\, \dfrac{1}{10} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{2B+C}{5} + \dfrac{1}{2}$$
En simplifiant :
$$\dfrac{1}{10} = \dfrac{2B+C}{5} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = 2B+C \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, C = \dfrac{1}{2} - 2B$$
Ainsi :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{Bp + \dfrac{1}{2} - 2B}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{B(p-2)+\dfrac{1}{2}}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Posons maintenant $$p=3$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{3(3^2 + 1)(3-1)} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{B(3-2)+\dfrac{1}{2}}{3^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3-1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{3(10)2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{B+\dfrac{1}{2}}{10} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}$$
Ainsi :
$$\dfrac{1}{60} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{B+\dfrac{1}{2}}{10} + \dfrac{1}{4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{60} = -\dfrac{1}{12} + \dfrac{B+\dfrac{1}{2}}{10} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{10}{60} = -\dfrac{10}{12} + B+\dfrac{1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{10}{60} + \dfrac{10}{12} = B+\dfrac{1}{2}$$
Soit :
$$\dfrac{10}{60} + \dfrac{50}{60} = B+\dfrac{1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{10+60}{60} = B+\dfrac{1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{60}{60} = B+\dfrac{1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = B+\dfrac{1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 - \dfrac{1}{2} = B$$
Ce qui nous donne $$B = \dfrac{1}{2}$$ et de fait $$C = \dfrac{1}{2}-2\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} -1 = -\dfrac{1}{2}$$.
On a alors la décomposition suivante :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{\dfrac{1}{2}p-\dfrac{1}{2}}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
En factorisant :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2} \dfrac{p-1}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\dfrac{1}{p(p^2 + 1)(p-1)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2} \dfrac{p}{p^2 + 1} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Dès lors, nous avons donc :
$$F(p) = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2} \dfrac{p}{p^2 + 1} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{p^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
De manière identique, nous avons :
$$F(p) = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2} \dfrac{p}{p^2 + 1^2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{p^2 + 1^2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-1}$$
Mais, on sait que $$TL_p \left[ f(x) \right] = F(p)$$. Avec les tables de correspondances (du cours par exemple) relatives à la transformation de Laplace, nous avons donc :
$$TL_p \left[ f(x) \right] = - TL_p \left[ 1 \right] + \dfrac{1}{2} TL_p \left[ \cos(x) \right] - \dfrac{1}{2} TL_p \left[ \sin(x) \right] + \dfrac{1}{2} TL_p \left[ e^x \right]$$
Puis, par linéarité :
$$TL_p \left[ f(x) \right] = TL_p \left[ - 1 + \dfrac{1}{2} \cos(x) - \dfrac{1}{2} \sin(x) + \dfrac{1}{2} e^x \right]$$
De fait, nous pouvons écrire que :
$$f(x) = - 1 + \dfrac{1}{2} \cos(x) - \dfrac{1}{2} \sin(x) + \dfrac{1}{2} e^x$$
En factorisant, on obtient :
$$f(x) = \dfrac{1}{2}\left( - 2 + \cos(x) - \sin(x) + e^x \right)$$
Finalement, afin de faire explicitement apparaitre le caractère causale de $$f$$, nous allons introduire l'échelon unité $$\mathcal{U}(x)$$. On obtient donc la solution recherchée suivante :
$$f(x) = \dfrac{1}{2}\left( \cos(x) - \sin(x) + e^x - 2 \right) \mathcal{U}(x)$$