Exercice 11 - Exercice 1

On a l'équation différentielle suivante :
$$y''(x) - 2\, y'(x) + y(x) = f(x)$$
Prenons la transformation de Laplace des deux membres de l'équation précédente. On a alors :
$$TL_p\left[ y''(x) - 2\, y'(x) + y(x) \right] = TL_p\left[ f(x) \right]$$
Par linéarité de la transformée de Laplace, on obtient :
$$TL_p\left[ y''(x) \right] - 2\, TL_p\left[ y'(x) \right] + TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ f(x) \right]$$
En adoptant les notations usuelles $$TL_p\left[ y(x) \right] = Y(p)$$ et $$TL_p\left[ f(x) \right] = Fp)$$, on a alors :
$$p^2 Y(p) - p \, y(0) - y'(0) - 2\, \left( p Y(p) - y(0) \right) + Y(p) = F(p)$$
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
$$p^2 Y(p) - p \, 0 - 0 - 2\, \left( p Y(p) - 0 \right) + Y(p) = F(p)$$
Ainsi :
$$p^2 Y(p) - 2p \, Y(p) + Y(p) = F(p)$$
En factorisant, on obtient :
$$\left( p^2 - 2p + 1 \right) Y(p) = F(p)$$
D'où :
$$\left( p - 1 \right)^2 Y(p) = F(p)$$
Ce qui nous donne :
$$Y(p) = \dfrac{1}{\left( p - 1 \right)^2} \times F(p)$$
Soit :
$$Y(p) = \dfrac{1}{\left( p + (-1) \right)^2} \times F(p)$$
Soit encore :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ x \, e^{-(-1)x} \right] \times TL_p\left[ f(x) \right]$$
De fait, en introduisant le produit de convolution, on obtient l'expression formelle de la solution $$y$$ recherchée, à savoir :
$$y(x) = \left( x \, e^x \right) \star f(x)$$
Finalement, on obtient :
$$y(x) = \int_0^x \big( t \, e^t \times f(x-t) \big) \, \mathrm{d}x$$