Exercice 1 - Exercice 1

$${\color{red}{\clubsuit \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction numérique univariée de la variable $$x$$. Cette fonction $$f$$ est supposée être nulle pour $$x < 0$$. Une telle fonction est déclarée $$\textbf{causale}$$.
On appelle $${\color{red}{\textbf{Transformation de Laplace de }}f}$$, la fonction notée $${\color{red}{F}}$$ qui est définie, au travers du nombre complexe $$p$$, par l'intégrale généralisée suivante :
$$F(p) = TL_p[f(x)] = \int_0^{+\infty} f(x) e^{-px} \, dx$$
L'application $$TL_p : f \longmapsto F$$ est appelée $${\color{red}{\textbf{Transformation de Laplace de }}f}$$ et en langage opérationnel (ou symbolique) on note ceci comme $$F \subset f$$.
De fait, la Transformation de Laplace n'existe que si l'intégrale généralisée $$\int_0^{+\infty} f(x) e^{-px} \, dx$$ est convergente. On démontre mathématiquement que :
- si $$f$$ est continue par morceaux sur tout intervalle fermé $$[0\,;\,b]$$
- si un nombre réel $$a$$ existe, avec $$M > 0$$, tel que, si à partir d'un certaine valeur particulière de $$x$$, notée $$x_0$$, on a la majoration $$|\, f(x) \,| \leqslant M e^{a x}$$
alors $$F(p)$$ est définie dans le demi-plan complexe $$\Re{\mathrm{é}}(p) > a$$. On a alors :

$${\color{red}{\clubsuit \clubsuit \,\, \textbf{Transformées usuelles}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \,\, \textbf{Fonction échelon unité}}}$$
On a :
$$\mathcal{U}(x) = 1$$ si $$x \geqslant 0$$ et sinon $$\mathcal{U}(x) = 0$$. Soit :

Dans ce cas, on a :
$$F(p) = \int_0^{+\infty} 1 e^{-px} \, dx = \lim_{X \longrightarrow + \infty} \left[ \dfrac{e^{-px}}{-p} \right]_0^X = \lim_{X \longrightarrow + \infty} \dfrac{e^{-pX} - e^0}{-p} = \dfrac{1 - \displaystyle{\lim_{X \longrightarrow + \infty}} e^{-pX}}{p}$$
Si $$\Re{\mathrm{é}}(p) > 0$$ alors on a :
$$\lim_{X \longrightarrow + \infty} \left\vert \, e^{-pX} \, \right\vert = \lim_{X \longrightarrow + \infty} e^{-\Re{\mathrm{é}}(p)X} = 0$$
Donc :
$$TL_p[\mathcal{U}(x)] = F(p) = \dfrac{1}{p}$$ avec $$\Re{\mathrm{é}}(p) > 0$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \bullet \,\, \textbf{Fonction impulsion unité ayant pour limite la distribution de Dirac}}}$$
Soit $$\varepsilon \in \mathbb{R}^{+\star}$$. On considère la fonction porte $$P_\varepsilon$$ telle que :
si $$x \in[0 \,;\,\varepsilon [$$ alors $$P_\varepsilon(x) = 1$$ sinon $$P_\varepsilon(x) = 0$$ :

On constate immédiatement que :
$$\int_{-\infty}^{+\infty} P_\varepsilon(x) \, dx = 1$$
On appelle $${\color{red}{\textbf{distribution de Dirac}}}$$, notée $${\color{red}{\delta(x)}}$$, la limite de $$P_\varepsilon$$ lorsque $$\varepsilon \longrightarrow 0$$ :
$$\delta(x) = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0} P_\varepsilon(x)$$
La distribution de Dirac sert à $$\textit{positionner}$$ une action, soit en temps soit en position. Graphiquement, cet objet mathématique se représente comme :

On a :
$$TL_p[P_\varepsilon(x)] = \int_0^{+\infty} P_\varepsilon(x) e^{-px} \, dx = \int_0^{\varepsilon} \dfrac{1}{\varepsilon} e^{-px} \, dx = \dfrac{1}{\varepsilon} \int_0^{\varepsilon} e^{-px} \, dx = \dfrac{1}{\varepsilon} \left[ \dfrac{e^{-px}}{-p} \right]_0^{\varepsilon} = \dfrac{1}{p\varepsilon} \left[ - e^{-px}\right]_0^{\varepsilon} = \dfrac{1}{p\varepsilon} \left[ e^{-px}\right]_{\varepsilon}^0$$
D'où :
$$TL_p[P_\varepsilon(x)] = \dfrac{1}{p\varepsilon} \left( e^{-p0} - e^{-p\varepsilon} \right) = \dfrac{1}{p\varepsilon} \left( 1 - e^{-p\varepsilon} \right)$$
Passons à la limite lorsque $$\varepsilon \longrightarrow 0$$. On a alors :
$$e^{-p\varepsilon} \underset{0}{\sim} 1 -p\varepsilon$$
Donc on obtient :
$$TL_p[\delta(x)] = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0} TL_p[P_\varepsilon(x)] = \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0} \left( \dfrac{1}{p\varepsilon} \left( 1 - e^{-p\varepsilon} \right) \right) \underset{0}{\sim} \lim_{\varepsilon \longrightarrow 0} \left( \dfrac{1}{p\varepsilon} \left( 1 - 1 + p\varepsilon \right) \right)$$
Finalement, on trouve que :
$$TL_p[\delta(x)] = 1$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Fonction rampe}}}$$
On a :
$$\mathcal{R}(x) = x$$ si $$x \geqslant 0$$ et sinon $$\mathcal{R}(x) = 0$$. On peut également écrire que $$\mathcal{R}(x) = x\mathcal{U}(x)$$. Soit :

Dans ce cas, on a :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = F(p) = \int_0^{+\infty} x e^{-px} \, dx$$
On va faire usage d'une intégration par parties. On a alors :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = F(p) = \left[x \times \dfrac{e^{-px}}{-p} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} 1 \times \dfrac{e^{-px}}{-p} \, dx$$
Soit :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = F(p) = -\dfrac{1}{p}\left[x e^{-px} \right]_0^{+\infty} + \dfrac{1}{p} \int_0^{+\infty} e^{-px} \, dx = -\dfrac{1}{p}\lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( x e^{-px} \right) + \dfrac{1}{p} \int_0^{+\infty} e^{-px} \, dx$$
Soit encore :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = F(p) = -\dfrac{1}{p}\lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( x e^{-px} \right) + \dfrac{1}{p} \int_0^{+\infty} \mathcal{U}(x) e^{-px} \, dx = -\dfrac{1}{p}\lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( x e^{-px} \right) + \dfrac{1}{p} TL_p[\mathcal{U}(x)]$$
Ainsi :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = F(p) = -\dfrac{1}{p}\lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( x e^{-px} \right) + \dfrac{1}{p} \dfrac{1}{p} = -\dfrac{1}{p}\lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( x e^{-px} \right) + \dfrac{1}{p^2}$$
Si $$\Re{\mathrm{é}}(p) > 0$$ alors on a :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} x e^{-px} = 0$$
Finalement :
$$TL_p[\mathcal{R}(x)] = \dfrac{1}{p^2} \,\,\,\, \left( \Re{\mathrm{é}}(p) > 0 \right)$$
De manière similaire, on démontre que :
$$TL_p[x^n\mathcal{U}(x)] = \dfrac{n!}{p^{n+1}} \,\,\,\, \left( \Re{\mathrm{é}}(p) > 0 \,;\, n \in \mathbb{N}\right)$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Fonctions exponentielles}}}$$
Soit $$a \geqslant 0$$. On a :
$$\mathcal{E}(x) = e^{-ax}$$ si $$x \geqslant 0$$ et sinon $$\mathcal{E}(x) = 0$$. On peut également écrire que $$\mathcal{E}(x) = e^{-ax}\mathcal{U}(x)$$. Soit, par exemple :

Dans ce cas, on a :
$$TL_p[\mathcal{E}(x)] = F(p) = \int_0^{+\infty} e^{-ax} e^{-px} \, dx = \int_0^{+\infty} e^{-(p+a)\,x} \, dx = \lim_{X \longrightarrow + \infty} \left[ \dfrac{e^{-(p+a)\,x}}{-(p+a)}\right]_0^X = \dfrac{1}{p+a}\lim_{X \longrightarrow + \infty} \left[ e^{-(p+a)\,x} \right]_X^0$$
Soit :
Dans ce cas, on a :
$$TL_p[\mathcal{E}(x)] = F(p) = \dfrac{1}{p+a}\left( e^{-a0} - \lim_{X \longrightarrow + \infty} e^{-(p+a)\,X} \right) = \dfrac{1}{p+a}\left( 1 - \lim_{X \longrightarrow + \infty} e^{-(p+a)\,X} \right)$$
Si $$\Re{\mathrm{é}}(p) > 0$$ alors on a :
$$\lim_{X \longrightarrow + \infty} \left\vert \, e^{-(p+a)X} \, \right\vert = \lim_{X \longrightarrow + \infty} e^{-(\Re{\mathrm{é}}(p)+a)X} = 0$$
Donc :
$$TL_p[\mathcal{E}(x)] = TL_p[e^{-ax}\mathcal{U}(x)] = \dfrac{1}{p+a} \,\,\,\,\, \left( \Re{\mathrm{é}}(p) > 0 \right)$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Fonction cosinus}}}$$
Soit $$\mathsf{i}$$ le nombre complexe imaginaire tel que $$\mathsf{i}^2 = -1$$. Soit $$\omega \geqslant 0$$. On a :
$$\mathcal{C}(x) = \cos(\omega x)$$ si $$x \geqslant 0$$ et sinon $$\mathcal{C}(x) = 0$$. On peut également écrire que $$\mathcal{C}(x) = \cos(\omega x)\mathcal{U}(x)$$. Soit, par exemple :

On a donc :
$$TL_p[\mathcal{C}(x)] = TL_p[\cos(\omega x)]$$
En faisant usage des formules d'Euler, on peut alors écrire que :
$$TL_p[\mathcal{C}(x)] = TL_p\left[\dfrac{e^{\mathsf{i} \, \omega x} + e^{-\mathsf{i} \, \omega x}}{2} \right] = \dfrac{1}{2} TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x} + e^{-\mathsf{i} \, \omega x} \right] = \dfrac{1}{2} TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) + e^{-\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right]$$
Par linéarité de l'intégrale, on a alors :
$$TL_p[\mathcal{C}(x)] = \dfrac{1}{2} \left( TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right] + TL_p\left[ e^{-\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right] \right)$$
En utilisant le résultat précédent relatif aux fonctions exponentielles, on a alors :
$$TL_p[\mathcal{C}(x)] = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{p - \mathsf{i} \, \omega} + \dfrac{1}{p + \mathsf{i} \, \omega} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{p + \mathsf{i} \, \omega + p - \mathsf{i} \, \omega}{\left( p - \mathsf{i} \, \omega \right) \times \left( p + \mathsf{i} \, \omega \right)} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2p}{p^2 + \omega^2}$$
Finalement :
$$TL_p[\mathcal{C}(x)] = TL_p[\cos(\omega x)\mathcal{U}(x)] = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \,\,\,\,\, \left( \Re{\mathrm{é}}(p) > 0 \right)$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Fonction sinus}}}$$
Soit $$\mathsf{i}$$ le nombre complexe imaginaire tel que $$\mathsf{i}^2 = -1$$. Soit $$\omega \geqslant 0$$. On a :
$$\mathcal{S}(x) = \sin(\omega x)$$ si $$x \geqslant 0$$ et sinon $$\mathcal{S}(x) = 0$$. On peut également écrire que $$\mathcal{S}(x) = \sin(\omega x)\mathcal{U}(x)$$. Soit, par exemple :

On a donc :
$$TL_p[\mathcal{S}(x)] = TL_p[\sin(\omega x)]$$
En faisant usage des formules d'Euler, on peut alors écrire que :
$$TL_p[\mathcal{S}(x)] = TL_p\left[\dfrac{e^{\mathsf{i} \, \omega x} - e^{-\mathsf{i} \, \omega x}}{2\mathsf{i}} \right] = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x} - e^{-\mathsf{i} \, \omega x} \right] = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) - e^{-\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right]$$
Par linéarité de l'intégrale, on a alors :
$$TL_p[\mathcal{S}(x)] = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} \left( TL_p\left[e^{\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right] - TL_p\left[ e^{-\mathsf{i} \, \omega x}\mathcal{U}(x) \right] \right)$$
En utilisant le résultat précédent relatif aux fonctions exponentielles, on a alors :
$$TL_p[\mathcal{S}(x)] = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} \left( \dfrac{1}{p - \mathsf{i} \, \omega} - \dfrac{1}{p + \mathsf{i} \, \omega} \right) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} \left( \dfrac{p + \mathsf{i} \, \omega - p + \mathsf{i} \, \omega}{\left( p - \mathsf{i} \, \omega \right) \times \left( p + \mathsf{i} \, \omega \right)} \right) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} \times \dfrac{2\mathsf{i} \, \omega}{p^2 + \omega^2}$$
Finalement, en simplifiant par $$2\mathsf{i}$$, on obtient :
$$TL_p[\mathcal{S}(x)] = TL_p[\sin(\omega x)\mathcal{U}(x)] = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} \,\,\,\,\, \left( \Re{\mathrm{é}}(p) > 0 \right)$$