Transformée de Fourier

$$\textbf{{\color{red}{1. Définitions : Transformée directe et inverse}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Choix d'écriture : la convention symétrique}}}$$
Dans la convention symétrique (ou unitaire) le facteur $$1/(2\pi)$$ est réparti équitablement $$\left( \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)$$ entre l'espace direct et l'espace réciproque (celui des fréquences ou des nombres d'ondes).
Soit $$x$$ un nombre réel. Soit $$k$$ un nombre réel qui représente la variable réciproque de $$x$$.
Soit $$\mathrm{i}$$ le nombre complexe qui vérifie la condition $$\mathrm{i}^2 = -1$$.
$$\textbf{{\color{black}{Transformée de Fourier directe :}}}$$
$$\widehat{f}(k) = \mathcal{TF}[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, e^{- \mathrm{i}kx} \, \mathrm{d}x$$
$$\textbf{{\color{black}{Transformée de Fourier inverse :}}}$$
$$f(x) = \mathcal{TF}^{-1}[\widehat{f}](x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(k) \, e^{\mathrm{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
$$\textbf{{\color{red}{2. Conditions d'existence (Espaces de définition)}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Le cas }}} {\color{blue}{L^1\mathbb{R}}}$$
Si $$f$$ est absolument intégrable, à savoir $$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert f(x)\vert \, \mathrm{d}x < +\infty$$, alors l'intégrale de Fourier converge pour tout $$k \in \mathbb{R}$$ et $$\widehat{f}$$ est continue et bornée.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Le cas }}} {\color{blue}{L^2\mathbb{R}}}$$
Pour les fonctions de carré sommable, la définition s'étend par un procédé de densité (isométrie de Plancherel).
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Distributions tempérées }}} {\color{blue}{\mathcal{S}'(\mathbb{R}) }}$$
Pour les objets ne décroissant pas à l'infini (constantes, polynômes, Dirac), la transformée est définie par dualité.
Pour définir la transformée de Fourier par dualité, on utilise un espace de "bonnes" fonctions qu'on appelle l'espace de Schwartz, qui est noté $$\mathcal{S}(\mathbb{R})$$, ou l'espace des fonctions test à décroissance rapide.
Une fonction $$\varphi$$ appartient à $$\mathcal{S}(\mathbb{R})$$ si :
- elle est infiniment dérivable ($$C^\infty$$).
- elle-même et toutes ses dérivées décroissent plus vite que n'importe quelle inverse de polynôme à l'infini (elles s'annulent très rapidement).
$$\textbf{{\color{black}{Propriété essentielle : }}}$$
La transformée de Fourier est une bijection de $$\mathcal{S}(\mathbb{R})$$ dans $$\mathcal{S}(\mathbb{R})$$. Si $$\varphi$$ est une fonction de Schwartz, sa transformée $$\widehat{\varphi}$$ en est une aussi.
Si l'on prend deux fonctions de Schwartz $$f$$ et $$\varphi$$, que se passe-t-il si l'on calcule le produit scalaire (ou l'intégrale du produit) entre la transformée de l'une et l'autre ?
La réponse est assez simple. En effet, an appliquant le théorème de Fubini (permutation des intégrales) sur la définition de la transformée de Fourier, on démontre la relation fondamentale de dualité, à savoir :
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(x) \, \varphi(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \widehat{\varphi}(x) \, \mathrm{d}x$$
On constate que cette formule fait "déplacer" le chapeau de Fourier de la fonction $$f$$ vers la fonction test $$\varphi$$.
$$\textbf{{\color{red}{3. Limites aux infinis - Comportement asymptotique}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Lemme de Riemann-Lebesgue}}}$$
Si $$f \in L^1(\mathbb{R})$$, alors $$\lim_{\vert{}k\vert{} \to +\infty} \widehat{f}(k) = 0$$ (le physicien dit que les hautes fréquences s'atténuent).
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Symétrie du comportement }}}$$
Par dualité, si $$\widehat{f} \in L^1(\mathbb{R})$$, alors $$\lim_{\vert{}x\vert{} \to +\infty} f(x) = 0$$.
$$\textbf{{\color{red}{4. Propriétés fondamentales}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Propriétés algébriques et différentielles usuelles}}}$$
Soient $$f$$ et $$g$$ des fonctions suffisamment régulières et intégrables.
Soient $$\alpha$$ et $$\beta$$ deux nombres complexes.
Soit $$x_0$$ un nombre réel.
Soit $$k_0$$ un nombre réel.
Soit $$a$$ un nombre réel non nul.
On a les propriétés suivantes :
$$\begin{array}{ccc}Propriété & Expression \,\, f(x) & Transformée \,\, de \,\, Fourier \,\, \widehat{f} (k) \\ \\ Linéarité & \alpha f(x) + \beta g(x) & \alpha \widehat{f}(k) + \beta \widehat{g}(k) \\ \\ Translation & f(x - x_0) & e^{-\mathrm{i}kx_0} \widehat{f}(k) \\ \\ Modulation & e^{\mathrm{i}k_0 x} f(x) & \widehat{f}(k - k_0) \\ \\ Changement \,\, d'échelle & f(ax) & \dfrac{1}{\vert{}a\vert{}} \widehat{f}\left(\dfrac{k}{a}\right) \\ \\ Transformée \,\, d'une \,\, dérivée & f'(x) & \mathrm{i}k \, \widehat{f}(k) \\ \\ Transformée \,\, d'une \,\, dérivée \,\, n-ième & f^{(n)}(x) & (\mathrm{i}k)^n \widehat{f}(k) \\ \\ Dérivée \,\, d'une \,\, transformée & x \cdot f(x) & \mathrm{i} \, \dfrac{\mathrm{d}\widehat{f}}{\mathrm{d}k}(k) \\ \\ Conjugué & \overline{f(x)} & \overline{\widehat{f}(-k)} \\ \end{array}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Propriétés de parité}}}$$
Si $$f$$ est paire $$\big(f(-x) = f(x) \big)$$, alors $$\widehat{f}$$ est également paire $$\big(\widehat{f}(-k) = \widehat{f}(k)\big)$$.
Si $$f$$ est impaire $$\big(f(-x) = -f(x) \big)$$, alors $$\widehat{f}$$ est aussi impaire $$\big(\widehat{f}(-k) = -\widehat{f}(k)\big)$$.
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Cas des fonctions réelles :}}}$$
Si $$f$$ est réelle et paire $$\implies \widehat{f}$$ est réelle et paire.
Si $$f$$ est réelle et impaire $$\implies \widehat{f}$$ est purement imaginaire et impaire.
$$\textbf{{\color{red}{5. Théorèmes majeurs}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Théorème de Plancherel-Parseval (Conservation de la norme) }}}$$
On a la relation qui suit :
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert{}f(x)\vert{}^2 \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \vert{}\widehat{f}(k)\vert{}^2 \, \mathrm{d}k$$
Le physicien interprète cette relation comme une relation de conservation de l'énergie.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Théorème de la Convolution }}}$$
Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définies sur $$\mathbb{R}$$ (par exemple, deux signaux ou deux fonctions intégrables). Le produit de convolution de $$f$$ par $$g$$, noté $$f * g$$, est une nouvelle fonction définie par l'intégrale généralisée suivante :
$$(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x - t) \, \mathrm{d}t$$
Ou, de manière équivalente, par interversion des rôles, puisque la convolution est une opération commutative :
$$(f * g)(x) = (g * f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x - t) g(t) \, \mathrm{d}t$$
Pour comprendre ce que fait cette intégrale en un point $$x$$ donné, on peut imaginer le processus mécanique suivant :
- Le retournement :
On prend la fonction $$g(t)$$ et on la retourne horizontalement pour obtenir $$g(-t)$$.
- La translation : On décale cette fonction retournée d'une valeur $$x$$, ce qui donne $$g(x - t)$$.
- Le produit glissant : On multiplie point par point les deux fonctions $$f(t)$$ et $$g(x - t)$$, puis on calcule l'aire sous cette courbe (c'est-à-dire l'intégrale). On répète l'opération pour chaque position $$x$$.
Physiquement, la convolution modélise l'effet d'un système linéaire invariant sur un signal, ou plus simplement une moyenne pondérée (ou un lissage). Elle trouve des applications, par exemples, en théorie du signal, en optique, en électromagnétisme et en électronique.
On a alors la propriété fondamentale suivante :
$$TF[f * g](k) = \sqrt{2\pi} \, \widehat{f}(k) \, \widehat{g}(k)$$
Donc, la transformée de Fourier transforme un produit de convolution délicat en un simple produit algébrique.
$$\textbf{{\color{red}{6. La distribution de Dirac et transformées remarquables}}}$$
On a les trois relations importantes suivantes :
* $$TF[\delta](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$
** $$TF[\delta(x - x_0)](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\mathrm{i}kx_0}$$
*** $$TF[1](k) = \sqrt{2\pi} \, \delta(k)$$
$$\textbf{{\color{red}{7. Résolution d'équations différentielles (EDO) et aux dérivées partielles (EDP)}}}$$
La transformée de Fourier est un outil redoutable d'efficacité pour résoudre des équations différentielles grâce à sa capacité à transformer des opérations de dérivation en simples multiplications.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Pour les Équations Différentielles Ordinaires (EDO) }}}$$
Une EDO linéaire à coefficients constants (comme les équations de oscillateurs harmoniques amortis) est convertie par transformée de Fourier en une équation algébrique simple portant sur $$\widehat{f}(k)$$. On résout l'équation algébrique pour isoler $$\widehat{f}(k)$$, puis on applique la transformée inverse pour obtenir la solution $$f(x)$$.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Pour les Équations aux Dérivées Partielles (EDP) }}}$$
Face à une EDP faisant intervenir des variables d'espace et de temps (comme l'équation de la chaleur ou l'équation des ondes), appliquer la transformée de Fourier par rapport aux variables spatiales $$x$$ transforme les dérivées partielles spatiales $$\dfrac{\partial}{\partial x} = \partial_x$$ en facteurs $$\mathrm{i}k$$. L'EDP se réduit alors à une EDO simple par rapport au temps $$t$$ pour chaque $$k$$, qu'il est beaucoup plus aisé d'intégrer.
$$\textbf{{\color{red}{8. Exemples de situations physiques d'utilisation}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Mécanique Quantique : }}}$$
Le passage de la fonction d'onde spatiale $$\psi(x)$$ à la fonction d'onde dans l'espace des impulsions $$\widehat{\psi}(k)$$ (où $$k$$ est relié à la quantité de mouvement par $$p = \hbar k$$). Le principe d'incertitude de Heisenberg (ou de Gabor) y trouve une illustration mathématique directe : une fonction ne peut pas être arbitrairement resserrée (et localisée) à la fois dans l'espace et dans son espace de Fourier.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Traitement du Signal et Télécommunications : }}}$$
Analyse spectrale des signaux audio ou radio pour identifier les fréquences qui les composent, filtrage des bruits indésirables, et modulation/démodulation en télécommunications.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Optique Ondulatoire et Imagerie : }}}$$
Étude de la diffraction de la lumière (notamment la diffraction de Fraunhofer à travers des fentes ou des ouvertures) et de l'optique de Fourier (propagation des ondes lumineuses à travers des systèmes optiques et des lentilles).
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Thermodynamique et Physique des Milieux Continus : }}}$$
Résolution de l'équation de la chaleur (diffusion thermique) pour suivre la propagation de la température dans un milieu infini, ou de l'équation de propagation des ondes acoustiques et électromagnétiques.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Mécanique vibratoire : }}}$$
Pour des modélisation du phénomène de percussion.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Les variables : }}}$$
Physiquement, si la variable de l'espace directe est $$x$$, qui est une distance, alors $$k$$ est la variable de l'espace réciproque (dit de Fourier), et est un vecteur d'onde qui vaut $$k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$$ et $$\lambda$$ est une période spatiale.
Physiquement, si la variable de l'espace directe est $$t$$, qui est une durée, alors $$\omega$$ est la variable de l'espace réciproque (dit de Fourier), et est une pulsation qui vaut $$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$ et $$T$$ est une période temporelle.
$$\textbf{{\color{red}{9. Transformation de Fourier en dimension supérieure à un}}}$$
Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
On s'intéresse à la Transformée de Fourier à $$n$$ dimensions, donc $$\vec{x} \in \mathbb{R}^n$$.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Notations et définitions}}}$$
Soient $$\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$$ et $$\vec{k} = (k_1, k_2, \dots, k_n) \in \mathbb{R}^n$$ deux vecteurs de l'espace $$\mathbb{R}^n$$.
On note leur produit scalaire usuel par :
$$\vec{k} \cdot \vec{x} = \sum_{j=1}^n k_j x_j = k_1 x_1 + k_2 x_2 + \dots + k_n x_n$$
On note l'élément de volume différentiel :
$$\mathrm{d}^n\vec{x} = \mathrm{d}x_1 \, \mathrm{d}x_2 \dots \mathrm{d}x_n \quad \text{et} \quad \mathrm{d}^n\vec{k} = \mathrm{d}k_1 \, \mathrm{d}k_2 \dots \mathrm{d}k_n$$
Le facteur de normalisation par dimension étant $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$, pour $$n$$ dimensions, il devient $$\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}$$.
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Transformée directe et inverse en dimension \it{n} }}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Transformée de Fourier directe }}}$$
On a :
$$\widehat{f}(\vec{k}) = TF[f](\vec{k}) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\mathbb{R}^n} f(\vec{x}) \, e^{-\mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{x}} \, \mathrm{d}^n\vec{x}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Transformée de Fourier inverse }}}$$
On a alors la définition :
$$f(\vec{x}) = TF^{-1}[\widehat{f}](\vec{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\mathbb{R}^n} f(\vec{x}) \, e^{\mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{x}} \, \mathrm{d}^n\vec{k}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Principales propriétés en dimension \it{n} }}}$$
Les propriétés s'étendent naturellement de 1D à $$n$$D en remplaçant les scalaires par des vecteurs. On a alors :
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Linéarité}}}$$
On conserve la superposition linéaire des fonctions.
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Translation spatiale}}}$$
Si l'on décale la fonction d'un vecteur constant $$\vec{x}_0$$, c'est-à-dire $$f(\vec{x} - \vec{x}_0)$$, sa transformée est multipliée par une phase :
$$TF[f(\vec{x} - \vec{x}_0)](\vec{k}) = e^{-\mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{x}_0} \widehat{f}(\vec{k})$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Dérivation, c'est-à-dire le Gradient}}}$$
L'application de l'opérateur vectoriel gradient $$\vec{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)$$ se traduit par une multiplication vectorielle par $$\mathrm{i}\vec{k}$$ :
$$TF[\vec{\nabla} f](\vec{k}) = \mathrm{i} \vec{k} \, \widehat{f}(\vec{k})$$
Plus généralement, pour un opérateur de dérivation d'ordre supérieur ou une dérivée partielle $$\frac{\partial}{\partial x_j}$$, on obtient une multiplication par $$\mathrm{i}k_j$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{blue}{Théorèmes fondamentaux en dimension \it{n} }}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Le théorème de Plancherel-Parseval (Conservation de la norme }}}$$ $${\color{black}{L^2}}$$$$\textbf{{\color{black}{)}}}$$:
On a :
$$\int_{\mathbb{R}^n} \vert{}f(\vec{x})\vert{}^2 \, \mathrm{d}^n\vec{x} = \int_{\mathbb{R}^n} \vert{}\widehat{f}(\vec{k})\vert{}^2 \, \mathrm{d}^n\vec{k}$$
$$\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\, \textbf{{\color{black}{Le théorème de convolution }}}$$
Le produit de convolution en $$n$$ dimensions est défini par :
$$(f * g)(\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\vec{t}) g(\vec{x} - \vec{t}) \, \mathrm{d}^n\vec{t}$$
Sa transformée de Fourier fait apparaître le facteur de normalisation global à la puissance $$n$$. On a alors la formulme suivante :
$$TF[f * g](\vec{k}) = (2\pi)^{\frac{n}{2}} \, \widehat{f}(\vec{k}) \, \widehat{g}(\vec{k})$$