Exercice 8 - Exercice 1

Soit $$\mathsf{i}$$ le nombre imaginaire pur unité. On a alors $$\mathsf{i}^2 = -1$$.
Pour résoudre ce problème, l'idée est d'appliquer la transformée de Fourier par rapport à la variable $$x$$. En effet, le sujet nous impose la condition limite, sur $$y$$, suivante : $$\displaystyle{ \lim_{y \, \longrightarrow \, +\infty} } u(x \,;\, y) = 0$$. Ceci permet de travailler dans l'espace réciproque de la variable $$x$$ et de conserver cette condition limite pour "ajuster" la dépendance en la variable $$y$$.
On note par $$\widehat{u}(k \,;\, y)$$ la transformée de Fourier de $$u(x \,;\, y)$$. Et on a :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} u(x \,;\, y) e^{-\mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
Pour cette résolution, nous ferons usage des deux propriétés suivantes de la transformée de Fourier.
$${\color{red}{\bullet \,\,}}$$ La transformée de Fourier $$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ est donnée par :
$$TF \left[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right] = (\mathsf{i}k)^2 \widehat{u}(k \,;\, y) = -k^2 \widehat{u}(k \,;\, y)$$
$${\color{red}{\bullet \bullet \,\,}}$$ La transformée de $$\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ est simplement la dérivée seconde par rapport à $$y$$, soit :
$$TF \left[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right] = \dfrac{\partial^2 \widehat{u}}{\partial y^2}(k \,;\, y)$$
Prenons la transformée de Fourier de l'équation $$\Delta u = 0$$. On a alors :
$$TF \left[ \Delta u \right] = TF \left[ 0 \right]$$
Soit :
$$TF \left[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right] = 0$$
Soit encore, par linéarité de la transformée de Fourier, on a :
$$TF \left[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right] + TF \left[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right] = 0$$
Ainsi :
$$-k^2 \widehat{u}(k \,\;\, y) + \dfrac{\partial^2 \widehat{u}}{\partial y^2}(k \,;\, y) = 0$$
D'où :
$$\dfrac{\partial^2 \widehat{u}}{\partial y^2}(k \,;\, y) = k^2 \widehat{u}(k \,;\, y)$$
Donc :
$$\dfrac{\partial^2 \widehat{u}}{\partial y^2}(k \,;\, y) - k^2 \widehat{u}(k \,;\, y) = 0$$
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire (et ordinaire) du second ordre de la forme $$Y'' - k^2 Y = 0$$. La solution générale est bien connue et est de la forme suivante :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = A(k) \, e^{|k|y} + B(k) \, e^{-|k|y}$$
C'est maintenant que nous allons tenir compte de la condition aux limites à l'infini qui est présente dans la définition du problème $$\mathcal{P}$$. En effet, on a
$$\displaystyle{ \lim_{y \to +\infty} } u(x \,;\, y) = 0$$. Cela implique que la transformée de Fourier doit également tendre vers 0 quand $$y$$ est croissant.
Le terme $$e^{|k|y}$$ tend vers $$+\infty$$ quand $$y \to +\infty$$. Pour que la limite soit nulle, on doit impérativement avoir la condition suivante :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, A(k) = 0$$
De fait, on obtient :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = B(k) \, e^{-|k|y}$$
Mais, on sait que :
$$u(x \,;\, 0) = f(x) \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec \, :} \,\, f(x) = \frac{2}{1 + 4\pi^2 x^2}$$
Puis en $$y=0$$, notre solution devient prend la forme :
$$\widehat{u}(k \,;\, 0) = B(k)$$
Donc $$B(k)$$ est simplement la transformée de Fourier de $$f(x)$$ :
$$B(k) = TF \left[ f(x) \right] = \widehat{f}(k)$$
Ainsi, calculons $$\widehat{f}(k)$$. On a alors :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
Soit :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{2}{1 + 4\pi^2x^2} \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
Soit encore :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{4\pi^2\left( \dfrac{1}{4\pi^2} + x^2\right)} \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
Donc :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{2}{4\pi^2\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{1}{4\pi^2} + x^2} \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
D'où :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{2}{4\pi^2\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{ \left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2} \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
Que nous allons écrire comme :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{2\pi^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{ \left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2} \, e^{- \mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}x$$
On constate alors que l'on a :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{2\pi^2} \times TF \left[ \dfrac{1}{ \left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2} \right]$$
Mais, avec $$a > 0$$, on sait que :
$$TF \left[ e^{- a |x| } \right] = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \dfrac{a}{a^2 + k^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, TF \left[ \dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- a |x| } \right] = \dfrac{1}{a^2 + k^2}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$TF \left[ \dfrac{1}{a^2 + x^2} \right] = \dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- a |k| }$$
Posons maintenant $$a = \dfrac{1}{2\pi}$$. On a alors :
$$TF \left[ \dfrac{1}{\left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2} \right] = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2\pi}}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| }$$
Soit :
$$TF \left[ \dfrac{1}{\left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2} \right] = 2\pi \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| }$$
On en déduit immédiatement que :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{2\pi^2} \times 2\pi \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k|}$$
Ce qui nous donne :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\pi} \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| }$$
Et de fait :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| }$$
Mais, on sait que :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = B(k) \, e^{-|k|y} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \widehat{u}(k \,;\, y) = \widehat{f}(k) \, e^{-|k|y}$$
Soit :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| } \, e^{-|k|y}$$
Ainsi, la solution dans l'espace réciproque, c'est-à-dire l'espace de Fourier, est donnée par :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{1}{2\pi} |k| -|k|y}$$
Par une factorisation par $$-|k|$$ dans l'exponentielle, on obtient :
$$\widehat{u}(k \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) }$$
On applique maintenant la transformée de Fourier inverse, et on obtient :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{u}(k \,;\, y) \, e^{\mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}k$$
Soit :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } \, e^{\mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}k$$
Soit encore :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } \, e^{\mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}k$$
Ainsi :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } \, e^{\mathsf{i} kx} \, \mathrm{d}k$$
En tenant compte de la parité de $$e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) }$$, nous pouvons écrire que :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } \cos(kx) \mathrm{d}k$$
Soit :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } \Re e \left( e^{\mathsf{i} kx} \right) \mathrm{d}k$$
Soit encore :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \Re e \left( e^{- |k| \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } e^{\mathsf{i} kx} \right) \mathrm{d}k$$
Mais $$k$$ va de $$0$$ et tends vers $$+\infty$$. Donc $$k$$ est positif. Ainsi $$|k| = k$$. D'où :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \Re e \left( e^{- k \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) } e^{\mathsf{i} kx} \right) \mathrm{d}k$$
De fait, on a :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \Re e \left( e^{- k \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} kx} \right) \mathrm{d}k$$
En factorisant par $$-k$$ dans l'exponentielle, on trouve que :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \Re e \left( e^{- k \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } \right) \mathrm{d}k$$
Ce qui nous donne également :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \int_{0}^{+\infty} e^{- k \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } \mathrm{d}k \right)$$
Par intégration, on obtient :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \left[ - \dfrac{ e^{- k \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x } \right]_{0}^{+\infty} \right)$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ \left[ e^{- k \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } \right]_{+\infty}^{0} }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x } \right)$$
Ceci nous donne donc :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ e^{- 0 \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } - \displaystyle{\lim_{B \, \longrightarrow \, + \infty}} e^{- B \left( \left( y + \frac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x\right) } }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x } \right)$$
Soit :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ e^{0} - 0 }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x } \right)$$
Comme $$e^{0} - 0 = 1 - 0 = 1$$, on obtient :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ 1 }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x } \right)$$
En faisant usage de l'expression conjuguée, on a :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x }{ \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x \right) \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x \right) } \right)$$
Cependant, comme $$\mathsf{i}^2 = - 1$$, on a alors :
$$\left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) + \mathsf{i} x \right) \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x \right) = \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2 \in \mathbb{R}$$
Donc :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \, \Re e \left( \dfrac{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x }{ \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2 } \right)$$
D'où :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \times \dfrac{1}{\left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2}\, \Re e \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x \right)$$
Or, on a évidemment :
$$\Re e \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right) - \mathsf{i} x \right) = y + \dfrac{1}{2\pi}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \times \dfrac{y + \dfrac{1}{2\pi}}{\left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2}$$
On a également :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \times \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \times \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi} }= \dfrac{1}{\pi}$$
Finalement, la solution recherchée au problème $$\mathcal{P}$$ proposé dans cet exercice est donnée par l'expression suivante :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\pi} \, \dfrac{y + \dfrac{1}{2\pi}}{\left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2}$$
Il est possible, pour changer l'écriture de cette dernière expression de $$u(x \,;\, y)$$, de multiplier le numérateur et le dénominateur par $$4\pi^2$$. Ainsi, on obtient :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\pi} \, \dfrac{4\pi^2y + \dfrac{4\pi^2}{2\pi}}{4\pi^2 \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2 \right) }$$
Soit :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{1}{\pi} \, \dfrac{4\pi^2y + 2\pi}{(2\pi)^2 \left( \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + x^2 \right)}$$
Soit encore :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{4\pi y + 2}{ (2\pi)^2 \left( y + \dfrac{1}{2\pi} \right)^2 + (2\pi)^2 x^2 }$$
Ce qui nous donne :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{4\pi y + 2}{ \left( 2\pi y + \dfrac{2\pi}{2\pi} \right)^2 + 4\pi^2 x^2 }$$
Ainsi :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{4\pi y + 2}{ \left( 2\pi y + 1 \right)^2 + 4\pi^2 x^2 }$$
D'où la forme solution équivalente suivante :
$$u(x \,;\, y) = \dfrac{2 \big( 2\pi y + 1 \big)}{ \left( 2\pi y + 1 \right)^2 + 4\pi^2 x^2 }$$