Exercice 7 - Exercice 1

Ce problème de Cauchy modélise le phénomène de diffusion thermique (ou conduction de la chaleur) unidimensionnel au sein d'un milieu homogène de longueur infinie (représenté par la droite réelle $$\mathbb{R}$$).
L'expression $$u(x \,;\, t)$$ représente la température de la barre au point d'abscisse $$x \in \mathbb{R}$$ à l'instant donné $$t > 0$$.
Le paramètre $$a^2$$ désigne la diffusivité thermique du matériau (exprimée en $$\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}$$), qui est une constante strictement positive caractérisant la vitesse à laquelle la chaleur s'y propage.
L'équation aux dérivées partielles $$\partial_t u = a^2 \, \partial_{xx}^2 u$$ indique que le taux de variation temporelle de la température, en un point donné, est proportionnel à la concavité (ou courbure spatiale) du profil de température en ce point (traduction locale de la loi de Fourier et de la conservation de l'énergie).
La condition initiale $$u(x \,;\, 0) = f(x)$$ fixe la cartographie thermique de départ, c'est-à-dire le profil initial de température qui est imposé à $$t = 0$$.

Pour résoudre ce problème de Cauchy, nous allons avoir besoin des deux propriétés suivantes :
$${\color{red}{\bullet \,\,}}$$ Première propriété :
La dérivée temporelle peut-être sortie de l'intégrale de Fourier. Donc, on a :
$$\mathcal{F}[\partial_t u](k \,;\, t) = \partial_t \widehat{u}(k \,;\, t)$$
$${\color{red}{\bullet \bullet \,\,}}$$ Seconde propriété :
La transformée de Fourier d'une dérivée seconde par rapport à $$x$$ fait apparaître un facteur $$(\mathsf{i}k)^2 = -k^2$$. Donc, on a :
$$\mathcal{F}[\partial_{xx}^2 u](k \,;\, t) = -k^2 \widehat{u}(k \,;\, t)$$
Appliquons la transformée de Fourier aux deux membres de l'équation aux dérivées partielles (E.D.P.) considérée. On a alors :
$$\partial_t u(x \,;\, t) = a^2 \partial_{xx}^2 u(x \,;\, t)$$
On a donc :
$$\mathcal{F}[\partial_t u](k \,;\, t) = a^2 \mathcal{F}[\partial_{xx}^2 u](k \,;\, t)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\partial_t \widehat{u}(k \,;\, t) = a^2 (-k^2) \widehat{u}(k \,;\, t)$$
Ainsi :
$$\partial_t \widehat{u}(k \,;\, t) = -a^2 k^2 \widehat{u}(k \,;\, t)$$
A ce stade, nous venons de transformer notre E.D.P. complexe en une simple Équation Différentielle Ordinaire (E.D.O.) du premier ordre en $$t$$.
Pour un $$k$$ fixé, la solution de l'équation $$\partial_t \widehat{u} = -a^2 k^2 \widehat{u}$$ est de la forme suivante :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = C(k) e^{-a^2 k^2 t}$$
Le terme $$C(k)$$ est une issue de la procédure d'intégration qui dépend de $$k$$. Afin de déterminer $$C(k)$$, nous allons utiliser la condition initiale à $$t=0$$. On a :
$$u(x \,;\, 0) = f(x) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \widehat{u}(k,0) = \widehat{f}(k)$$
Or, en évaluant notre solution à $$t=0$$, on obtient :
$$\widehat{u}(k,0) = C(k) e^0 = C(k)$$
Ainsi :
$$C(k) = \widehat{f}(k)$$
ce qui nous donne la solution, dans l'espace de Fourier, suivante :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \widehat{f}(k) \times e^{-a^2 k^2 t}$$
Nous venons d'exprimer $$\widehat{u}$$ comme le produit de deux transformées de Fourier. Or, le produit " $$\times$$ " dans l'espace de Fourier correspond au produit de convolution " $$\star$$ " dans l'espace direct.
On pose alors :
$$\widehat{g_t}(k) = e^{-a^2 k^2 t}$$
Ainsi notre équation devient :
$$\widehat{u}(k,t) = \widehat{f}(k) \times \widehat{g_t}(k)$$
Mais, le théorème de convolution nous apprend que :
$$\mathcal{F}[f \star g_t](k) = \sqrt{2\pi} \, \widehat{f}(k) \times \widehat{g_t}(k)$$
On en déduit que :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{F}[f \star g_t](k)$$
En prenant la transformée de Fourier inverse $$\mathcal{F}^{-1}$$ de cette dernière relation, on trouve immédiatement que :
$$u(x \,;\, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (f \star g_t)(x)$$
L'expression $$g_t(x)$$ est la transformée de Fourier inverse d'une gaussienne, c'est également une gaussienne. On a alors :
$$g_t(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \widehat{g_t}(k) e^{\mathsf{i} kx} \mathrm{d}k = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-a^2 k^2 t} e^{\mathsf{i} kx} \mathrm{d}k = \dfrac{1}{a\sqrt{2t}} e^{-\frac{x^2}{4a^2 t}}$$
Finalement, la solution générale formelle $$u(x \,;\, t)$$ recherchée est donc le produit de convolution entre $$g_t$$ et la condition initiale $$f$$. On a alors :
$$u(x \,;\, tt) = \dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^2}{4a^2 t}} \mathrm{d}y$$

On pose :
$$f(x) = e^{-x^2}$$
Donc, on a :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \, e^{-\mathsf{i} kx} \mathrm{d}x$$
Soit :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \, e^{-\mathsf{i} kx} \mathrm{d}x$$
Ce qui nous donne :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2 -\mathsf{i} kx} \mathrm{d}x$$
Mais, le sujet nous apprend que :
$$\forall \alpha \in \mathbb{R}^\star, \,\, \forall \beta \in \mathbb{C}, \,\, \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 + \beta x} \, \mathrm{d}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}}$$
En posant $$\alpha = 1$$ et $$\beta = -\mathsf{i}k$$, donc $$\beta^2 = -k^2$$, on obtient immédiatement :
$$\widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{\pi} e^{- \,\frac{k^2}{4}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \widehat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{- \,\frac{k^2}{4}}$$
On constate alors que nous pouvons écrire que :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \widehat{f}(k) e^{-a^2 k^2 t} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \widehat{u}(k \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{k^2}{4}} e^{-a^2 k^2 t}$$
Donc :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{k^2}{4}-a^2 k^2 t}$$
En factorisant par le terme $$-k^2$$ dans l'exponentielle, on obtient :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2 \left(\frac{1 + 4a^2 t}{4}\right)}$$
De même :
$$\widehat{u}(k \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{- \frac{k^2}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)}$$
Appliquons maintenant la définition de la transformée de Fourier inverse, à savoir :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{u}(k \,;\, t) e^{\mathsf{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{- \frac{k^2}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)} e^{\mathsf{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
Que nous allons écrire comme :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{- \frac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)k^2} e^{\mathsf{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
En regroupant les exponentielles, on obtient :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{- \frac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)k^2 + \mathsf{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
Donc :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \frac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)k^2 + \mathsf{i}kx} \, \mathrm{d}k$$
Utilisons à nouveau notre intégrale gaussienne donnée dans le sujet mais avec, cette fois, la variable d'intégration $$k$$ au lieu de $$x$$, où $$\alpha = \dfrac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)$$ et $$\beta = \mathsf{i}x$$. On a alors :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \times \sqrt{\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)}} e^{-\frac{x^2}{4\frac{1}{4} \left(1 + 4a^2 t \right)}}$$
Soit :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \times \sqrt{\dfrac{4\pi}{1 + 4a^2 t }} e^{-\frac{x^2}{1 + 4a^2 t }}$$
Soit encore :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \times \dfrac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{1 + 4a^2 t }} e^{-\frac{x^2}{1 + 4a^2 t }}$$
Finalement, en simplifiant par la quantité $$2\sqrt{\pi}$$ on obtient le résultat suivant :
$$u(x \,;\, t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4a^2 t }} e^{-\frac{x^2}{1 + 4a^2 t }}$$
On remarque que si on pose $$t=0$$ dans cette solution finale, que nous venons de trouver, on retrouve bien $$u(x,0) = e^{-x^2}$$, ce qui confirme la validité de nos calculs.