Exercice 6 - Exercice 1

30 min
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Encore un exercice incontournable.
Question 1
Soit a∈Ra \in \mathbb{R}. Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. Soit k∈Rk \in \mathbb{R}.
On considère une fonction f∈L1(R)f \in L^1(\mathbb{R}).

Démontrer que la fonction φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) est la transformée de Fourier d'une fonction c:x⟼c(x)c : x \longmapsto c(x) que vous expliciterez en fonction de ff et aa.

Correction
Soit a∈Ra \in \mathbb{R}. Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. Soit k∈Rk \in \mathbb{R}. Soit i\mathsf{i} le nombre complexe imaginaire pur tel que i2=−1\mathsf{i}^2 = -1.
On considère une fonction f∈L1(R)f \in L^1(\mathbb{R}).
On a :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=f^(k)×eika+e−ika2\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \widehat{f}(k) \times \dfrac{e^{\mathsf{i} ka} + e^{-\mathsf{i} ka}}{2}
Donc, on a également :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=12f^(k)eika+12f^(k)e−ika\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{1}{2}\widehat{f}(k )e^{\mathsf{i} ka} + \dfrac{1}{2}\widehat{f}(k )e^{- \mathsf{i} ka}
Soit encore :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=12eikaTF[f(x)]+12e−ikaTF[f(x)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{1}{2}e^{\mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right] + \dfrac{1}{2} e^{- \mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right]
D'où :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=12eikaTF[f(x)]+12eik(−a)TF[f(x)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{1}{2}e^{\mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right] + \dfrac{1}{2} e^{\mathsf{i} k(-a)} TF\left[f(x)\right]
D'après le cours, on en déduit que :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=12TF[f(x+a)]+12TF[f(x−a)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{1}{2} TF\left[f(x+a)\right] + \dfrac{1}{2} TF\left[f(x-a)\right]
Ce qui nous donne :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=TF[f(x+a)]+TF[f(x−a)]2\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{ TF\left[f(x+a)\right] + TF\left[f(x-a)\right] }{2}
Finalement :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=TF[f(x+a)+f(x−a)2]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = TF\left[ \dfrac{ f(x+a) + f(x-a) }{2} \right]
Nous pouvons donc écrire que :
c:x⟼c(x)=f(x+a)+f(x−a)2c : x \longmapsto c(x) = \dfrac{ f(x+a) + f(x-a) }{2}
Question 2

Démontrer que la fonction ψ:k⟼ψ(k)=f^(k)sin⁡(ka)\psi : k \longmapsto \psi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) est la transformée de Fourier d'une fonction s:x⟼s(x)s : x \longmapsto s(x) que vous expliciterez en fonction de ff et aa.

Correction
On a :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)sin⁡(ka)=f^(k)×eika−e−ika2i\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) = \widehat{f}(k) \times \dfrac{e^{\mathsf{i} ka} - e^{-\mathsf{i} ka}}{2\mathsf{i}}
Donc, on a également :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)sin⁡(ka)=12if^(k)eika−12if^(k)e−ika\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} \widehat{f}(k )e^{\mathsf{i} ka} - \dfrac{1}{2\mathsf{i}}\widehat{f}(k )e^{- \mathsf{i} ka}
Soit encore :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)sin⁡(ka)=12ieikaTF[f(x)]−12ie−ikaTF[f(x)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} e^{\mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right] - \dfrac{1}{2\mathsf{i}} e^{- \mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right]
D'où :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)sin⁡(ka)=12ieikaTF[f(x)]−12ieik(−a)TF[f(x)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} e^{\mathsf{i} ka} TF\left[f(x)\right] - \dfrac{1}{2\mathsf{i}} e^{\mathsf{i} k(-a)} TF\left[f(x)\right]
D'après le cours, on en déduit que :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)sin⁡(ka)=12iTF[f(x+a)]−12iTF[f(x−a)]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \sin(ka) = \dfrac{1}{2\mathsf{i}} TF\left[f(x+a)\right] - \dfrac{1}{2\mathsf{i}} TF\left[f(x-a)\right]
Ce qui nous donne :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=TF[f(x+a)]−TF[f(x−a)]2i\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = \dfrac{ TF\left[f(x+a)\right] - TF\left[f(x-a)\right] }{2\mathsf{i}}
Finalement :
φ:k⟼φ(k)=f^(k)cos⁡(ka)=TF[f(x+a)−f(x−a)2i]\varphi : k \longmapsto \varphi(k) = \widehat{f}(k) \cos(ka) = TF\left[ \dfrac{ f(x+a) - f(x-a) }{2\mathsf{i}} \right]
Nous pouvons donc écrire que :
s:x⟼s(x)=f(x+a)−f(x−a)2is : x \longmapsto s(x) = \dfrac{ f(x+a) - f(x-a) }{2\mathsf{i}}

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