Exercice 5 - Exercice 1

On se propose de résoudre, dans l'ensemble $$L^1(\mathbb{R})$$, l'équation $$E$$, d'inconnue $$g : x \in \mathbb{R} \longmapsto g(x)$$ suivante :
$$E : \,\,\, g(x) \star e^{-2 \, |x|} = e^{-3 \, |x|}$$
Prenons la transformée de Fourier de cette équation, membre à membre. On a alors :
$$TF \left[ g(x) \star e^{-2 \, |x|} \right] = TF \left[ e^{-3 \, |x|} \right]$$
Soit :
$$TF \left[ g(x) \right] \times TF \left[ e^{-2 \, |x|} \right] = TF \left[ e^{-3 \, |x|} \right]$$
Soit encore :
$$TF \left[ g(x) \right] \times \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{2}{4 + k^2} = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{3}{9 + k^2}$$
D'où :
$$\widehat{g}(k) \times \dfrac{2}{4 + k^2} = \dfrac{3}{9 + k^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\widehat{g}(k) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4 + k^2}{9 + k^2}$$
Or, le lemme de Riemann-Lebesgue nous impose d'avoir :
$$\lim_{k \, \longrightarrow + \infty} \widehat{g}(k) = 0$$
Or, nous constatons que :
$$\lim_{k \, \longrightarrow + \infty} \widehat{g}(k) = \lim_{k \, \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4 + k^2}{9 + k^2} \right) = \dfrac{3}{2} \lim_{k \, \longrightarrow + \infty} \dfrac{4 + k^2}{9 + k^2} = \dfrac{3}{2} \times 1 = \dfrac{3}{2} \neq 0$$
Ceci contredit le lemme de Riemann-Lebesgue. En conséquence il n'existe pas de fonction numérique univariée $$g$$ qui soit solution de l'équation $$E$$.