Exercice 2 - Exercice 1

La question demande de montrer $${\color{red}{\textbf{qu'il n'existe pas}}}$$ de fonction $$g \in L^1(\mathbb{R})$$ telle que :
$$f \star g = f$$
Pour ce faire, nous allons raisonner par l'absurde. Nous allons donc supposer qu'il existe une fonction $$g \in L^1(\mathbb{R})$$ qui vérifie l'équation précédente.
Adoptons les notations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \widehat{f}(k) & = & \mathcal{F}[f](k) \\ & & \\ \widehat{g}(k) & = & \mathcal{F}[g](k) \\ \end{array} \right.$$
Dans ce cas, par passage dans l'espace réciproque, le produit de convolution $$\star$$ devient un produit $$\times$$. Donc, on peut donc écrire que :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{f}(k) \times \widehat{g}(k) = \widehat{f}(k)$$
Ceci devant est vrai pour toute fonction de $$L^1(\mathbb{R})$$ alors il existe une fonction $$f \in L^1(\mathbb{R})$$ telle que, sa transformée de Fourier $$\widehat{f}(k)$$ soit non nulle, et qui permet d'avoir :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{g}(k) = 1$$
Mais, d'après le cours, on sait que la transformée de Fourier d'une fonction de l'ensemble $$L^1(\mathbb{R})$$ tend vers $$0$$ à lorsque $$k \longrightarrow \pm \infty$$. Ce résultat est le lemme de Riemann-Lebesgue. Mentionnons que ce résultat reste vrai si $$f \in L^2(\mathbb{R})$$. Or, nous constatons que :
$$\lim_{k \,\longrightarrow \, + \infty } \widehat{g}(k) = \lim_{k \,\longrightarrow \, +\infty } 1 = 1$$
Autrement dit, nous avons :
$$\lim_{k \,\longrightarrow \, + \infty } \widehat{g}(k) \neq 0$$
Ceci constitue une contradiction avec les propriétés générales de la transformée de Fourier, en l'occurrence ici le lemme de Riemann-Lebesgue, des fonctions appartenant à $$L^1(\mathbb{R})$$.
Il n'y a donc aucune fonction $$g$$ telle que :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{g}(k) = 1$$
En conclusion, la structure (l'algèbre) $$L^1(\mathbb{R})$$ ne possède pas d'unité.

On a, dans $$L^1(\mathbb{R})$$, l'équation :
$$f \star f = f$$
Par transformation de Fourier, on a alors :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{f}(k) \times \widehat{f}(k) = \widehat{f}(k)$$
Soit :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \left( \widehat{f}(k) \right)^2 = \widehat{f}(k)$$
Soit encore :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \left( \widehat{f}(k) \right)^2 - \widehat{f}(k) = 0$$
En factorisant par $$\widehat{f}(k)$$ on obtient alors :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{f}(k) \left( \widehat{f}(k) - 1 \right) = 0$$
Donc, on en déduit que :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \widehat{f}(k) & = & 0 \\ & \mathrm{ou} & \\ \widehat{f}(k) & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
Or la question précédente nous apprend que le cas ou $$\widehat{f}(k)$$ qui est identiquement égal à 1 est impossible. De fait, on a donc obligatoirement :
$$\forall k \in \mathbb{R}, \,\, \widehat{f}(k) = 0$$
Ceci nous permet de conclure que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f(x) = 0$$
La fonction nulle est la solution de l'équation étudiée.