Une sympathique limite - Exercice 1

On constate que, pour tout nombre entier $$n$$ (non nul), le terme $$u_n$$ est strictement positif.
Donc, nous allons pouvoir introduire le logarithme népérien de $$u_n$$ afin d'éliminer la puissance en $$\frac{1}{n}$$. On a alors :
$$\ln(u_n) = \ln \left( \left( \dfrac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} \ln \left( \dfrac{n!}{n^n} \right) = \frac{1}{n} \ln \left( \dfrac{n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1}{n \times n \times \cdots \times n \times n} \right)$$
Comme $$n$$ un nombre entier naturel non nul on a donc :
$$\ln(u_n) = \frac{1}{n} \ln \left( \dfrac{(n-1) \times \cdots \times 2 \times 1}{ n \times \cdots \times n \times n} \right) = \frac{1}{n} \ln \left( \dfrac{n-1}{n} \times \cdots \times \dfrac{2}{n} \times \dfrac{1}{n} \right)$$
En faisant usage des propriétés algébriques du logarithme on a :
$$\ln(u_n) = \frac{1}{n} \left( \ln \left( \dfrac{n-1}{n} \right) + \cdots + \ln \left( \dfrac{2}{n} \right) + \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \ln \left( \dfrac{k}{n} \right)$$
Ceci peut également s'écrire sous la forme :
$$\ln(u_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \ln \left( 0 + k\dfrac{1-0}{n} \right)$$
Ceci à la forme d'une somme de $$Riemann$$ mais cette somme n'est pas égale à l'intégrale de $$x \longrightarrow \ln(x)$$ entre $$0$$ et $$1$$. En effet la fonction $$x \longrightarrow \ln(x)$$ n'est pas définie en $$0$$, qui aurait été la borne inférieure. C'est pourquoi nous allons procéder à une autre technique : l'encadrement.
Pour $$2 \leqslant k \leqslant n-1$$ on a l'encadrement suivant (qui repose sur l'interprétation géométrique de l'intégrale) :
$$\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{k}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \ln(x) \, dx$$
Donc :
$$\bullet \,\, k = 2 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{2}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{\frac{3}{n}} \ln(x) \, dx$$
$$\bullet \,\, k = 3 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{\frac{2}{n}}^{\frac{3}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{3}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{3}{n}}^{\frac{4}{n}} \ln(x) \, dx$$
$$\vdots$$
$$\bullet \,\, k = n-1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{\frac{n-2}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{n-1}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n}{n}} \ln(x) \, dx$$
Donc en additionnant, membres à membres, puis en faisant usage de la relation de $$Chasles$$, on a :
$$\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \left( \ln \left( \dfrac{2}{n} \right) + \ln \left( \dfrac{3}{n} \right) + \cdots + \ln \left( \dfrac{n-1}{n} \right) \right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{\frac{n}{n}} \ln(x) \, dx$$
Soit encore :
$$\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \left( \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) + \ln \left( \dfrac{2}{n} \right) + \ln \left( \dfrac{3}{n} \right) + \cdots + \ln \left( \dfrac{n-1}{n} \right) - \ln \left( \dfrac{1}{n} \right)\right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx$$
De même :
$$\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{n-1} \ln \left( \dfrac{k}{n} \right) - \ln \left( \dfrac{1}{n} \right)\right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx$$
D'où :
$$\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \ln \left( \dfrac{k}{n} \right) - \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx$$
Egalement :
$$\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \leqslant \ln(u_n) - \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx$$
Posons :
$$m_n = \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx \hspace{1cm} et \hspace{1cm} M_n = \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$m_n \leqslant \ln(u_n) - \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) \leqslant M_n$$
On a alors :
$$m_n = \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} \ln(x) \, dx = [x \ln(x) - x]_{\frac{1}{n}}^{\frac{n-1}{n}} = \frac{n-1}{n} \ln\left( \dfrac{n-1}{n} \right) - \frac{n-1}{n} - \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right) + \frac{1}{n}$$
Soit encore :
$$m_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ln\left( 1 - \frac{1}{n} \right) - \frac{n-2}{n} - \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right) = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ln\left( 1 - \frac{1}{n} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n} \right) - \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Passons maintenant à la limite lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$. Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} m_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ln\left( 1 - \frac{1}{n} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n} \right) - \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} m_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ln\left( 1 - \frac{1}{n} \right) - \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 - \frac{2}{n} \right) - \lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Avec les limites (classiques) suivantes :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \ln\left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{1}{n} \ln\left( \dfrac{1}{n} \right) = 0$$
Et :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 - \frac{2}{n} \right) = 1$$
On obtient alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} m_n = - 1$$
Puis :
$$M_n = \int_{\frac{2}{n}}^{1} \ln(x) \, dx = [x \ln(x) - x]_{\frac{2}{n}}^{1} = 1\ln\left( 1 \right) - 1 - \frac{2}{n} \ln\left( \dfrac{2}{n} \right) + \frac{2}{n} = - 1 - \frac{2}{n} \ln\left( \dfrac{2}{n} \right) + \frac{2}{n}$$
Soit encore :
Passons maintenant à la limite lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$. Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} M_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( - 1 - \frac{2}{n} \ln\left( \dfrac{2}{n} \right) + \frac{2}{n} \right) = - 1 - \lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{2}{n} \ln\left( \dfrac{2}{n} \right) + \lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{2}{n}$$
Avec les limites (classiques) suivantes :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{2}{n} \ln\left( \dfrac{2}{n} \right) + \lim_{n \longrightarrow +\infty} \frac{2}{n} = 0$$
On obtient alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} M_n = - 1$$
On constate que $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} m_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} M_n = - 1$$. Donc, en vertu du théorème de l'encadrement, on peut affirmer que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \ln(u_n) - \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) = - 1$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln(u_n) - \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) = - 1$$
Cependant, on sait que $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right)$$. Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln(u_n) - 0 = - 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln(u_n) = - 1$$
En introduisant maintenant l'exponentielle, on a :
$$e^{\displaystyle{\lim_{n \longrightarrow +\infty}} \ln(u_n)} = e^{- 1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \longrightarrow +\infty} e^{\ln(u_n)} = \dfrac{1}{e}$$
On trouve alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = \dfrac{1}{e}$$
Finalement :
$$\ell = \dfrac{1}{e}$$
$${\color{blue}{\bf{\clubsuit \,\, Remarque :}}}$$
Pour calculer la limite $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right)$$ il suffit de poser $$X = \dfrac{1}{n}$$. Ainsi lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$ on a $$X \longrightarrow 0$$. De fait :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) = \lim_{X \longrightarrow 0} X \ln \left( X \right)$$
Puis, par croissances comparées entre le polynôme du premier degré $$X$$ et le terme logarithmique $$\ln(X)$$ on peut affirmer que :
$$\lim_{X \longrightarrow 0} X \ln \left( X \right) = 0$$
Et de fait :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{1}{n} \right) = 0$$