Une limite sympathique - Exercice 1

On a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{an + kb} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n \left( a + \dfrac{k}{n}b \right)} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{a + \dfrac{k}{n}b} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{a + \dfrac{k}{n}b}$$
Posons maitenant $$f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \dfrac{1}{a + xb}$$. Cette fonction $$f$$ est positive, décroissante et continue pour $$x \geqslant 0$$. Ainsi, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{an + kb} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{a + \dfrac{k}{n}b} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left( \dfrac{k}{n} \right)$$
Ceci peut également s'écrire comme :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{an + kb} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left( {\color{blue}{0}} + \dfrac{k}{n} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left( {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}} - {\color{blue}{0}}}{n} \right)$$
en faisant appelle à une somme de $$Riemann$$ on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{an + kb} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left( {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}} - {\color{blue}{0}}}{n} \right) = \dfrac{1}{{\color{red}{1}} - {\color{blue}{0}}} \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx$$
On constate que l'intervalle $$[ {\color{blue}{0}} \,;\, {\color{red}{1}} ]$$ appartient bien à $$\mathbb{R}^+$$. On a alors :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} \dfrac{1}{a + xb} \, dx = \dfrac{1}{b} \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} \dfrac{b}{a + xb} \, dx = \dfrac{1}{b} \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} \dfrac{(a + xb)'}{a + xb} \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \dfrac{1}{b} \left[ \ln (a + xb) \right]_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} = \dfrac{1}{b} \big( \ln (a + {\color{red}{1}}b) - \ln (a + {\color{blue}{0}}b) \big) = \dfrac{1}{b} \big( \ln (a + b) - \ln (a) \big)$$
En faisant usage des propriétés algébriques du logarithme, on a donc :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \dfrac{1}{b} \ln \left( \dfrac{a + b}{a} \right) = \dfrac{1}{b} \ln \left( \dfrac{a}{a} + \dfrac{b}{a}\right) = \dfrac{1}{b} \ln \left( 1+ \dfrac{b}{a}\right)$$
On en déduit alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{an + kb} = \dfrac{1}{b} \ln \left( 1+ \dfrac{b}{a}\right)$$
Finalement, on trouve que :
$$\ell = \dfrac{1}{b} \ln \left( 1+ \dfrac{b}{a}\right)$$