Une étonnante inégalité - Exercice 1

On a :
$$2 \int_0^a g'(t) g(t) \, dt = \int_0^a 2 g'(t) g(t) \, dt = \left[ g^2(t) \right]_0^a = g^2(a) - g^2(0) = g^2(a) - 0^2 = g^2(a)$$
Mais, on a également :
$$\int_0^a g'(t) \, dt = \left[ g(t) \right]_0^a = g(a) - g(0) = g(a) - 0 = g(a)$$
Donc :
$$2 \int_0^a g'(t) g(t) \, dt = \left( \int_0^a g'(t) \, dt \right)^2 = \left( \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right)^2$$
Appliquons maintenant l'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$ aux deux fonctions $$1$$ et $$g'$$. On a alors :
$$\left| \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right| \leqslant \sqrt{ \int_0^a 1^2 \, dt \times \int_0^a g'^2(t) \, dt }$$
Mais sur $$\mathbb{R}^+$$ la fonction carré conserve l'ordre. Donc :
$$\left| \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right|^2 \leqslant \sqrt{ \int_0^a 1^2 \, dt \times \int_0^a g'^2(t) \, dt }^2$$
Ce qui nous donne :
$$\left( \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right)^2 \leqslant \int_0^a 1^2 \, dt \times \int_0^a g'^2(t) \, dt$$
Soit encore :
$$\left( \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right)^2 \leqslant \int_0^a 1 \, dt \times \int_0^a g'^2(t) \, dt$$
Avec $$\int_0^a 1 \, dt = [t]_0^a = a - 0 = a$$. Ainsi, on trouve que :
$$\left( \int_0^a 1 \times g'(t) \, dt \right)^2 \leqslant a \times \int_0^a g'^2(t) \, dt$$
On en déduit donc immédiatement l'inégalité suivante :
$$2 \int_0^a g'(t) g(t) \, dt \leqslant a \times \int_0^a g'^2(t) \, dt$$
Ce qui nous permet d'écrire finalement que l'on a bien l'inégalité demandée, à savoir :
$$\int_0^a g'(t) g(t) \, dt \leqslant \dfrac{a}{2} \times \int_0^a g'^2(t) \, dt$$