Sujet 5 - Exercice 1

On a :
$$C_{2n}^n = \dfrac{(2n) ! }{n ! (2n - n) !} = \dfrac{(2n) ! }{n ! n !}$$
Ainsi :
$$n ! C_{2n}^n = \dfrac{(2n) ! }{n !} = 2n \times (2n -1) \times \cdots \times (n+1)$$
Dans ce produit, il y a donc $$2n - (n+1) + 1= 2n - n -1 + 1 = n$$ termes présents. Si on divise chacun des termes présents dans ce produit par $$n$$, cela revient à diviser $$n ! C_{2n}^n$$ par $$n^n$$. Et on a alors :
$$\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} = \dfrac{2n \times (2n -1) \times \cdots \times (n+1)}{n^n} = \dfrac{2n}{n} \times \dfrac{2n-1}{n} \times \cdots \times \dfrac{n+1}{n}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} = 2\times \left(2-\dfrac{1}{n} \right) \times \cdots \times \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} = (1+1) \times \left(1+1-\dfrac{1}{n} \right) \times \cdots \times \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)$$
Qui peut également s'écrire, puisque $$1 = \dfrac{n}{n}$$ et $$1-\dfrac{1}{n} = \dfrac{n-1}{n}$$ :
$$\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} = \left( 1+\dfrac{n}{n} \right) \times \left(1+\dfrac{n-1}{n} \right) \times \cdots \times \left( 1+\dfrac{1}{n} \right) = \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Afin d'éliminer le produit et de le transformer en somme (dans le but d'essayer de faire apparaître une somme de $$Riemann$$ et après une intégrale simple à évaluer), on va introduire un logarithme népérien. On a alors :
$$\ln \left( \dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} \right) = \ln \left( \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\dfrac{k}{n} \right) \right)$$
En faisant usage des propriétés algébriques du logarithme népérien, on trouve que :
$$\ln \left( \dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} \right) = \sum_{k=1}^{n} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Afin de faire apparaître la racine $$n$$-ième présent dans l'énoncé, on va multiplier par $$\dfrac{1}{n}$$ et ensuite faire, une nouvelle fois, usage des propriétés algébriques du logarithme népérien. On a alors :
$$\dfrac{1}{n}\ln \left( \dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} \right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Soit :
$$\ln \left( \left( \dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} \right)^\frac{1}{n} \right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Ainsi, comme $$\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n}$$ est un terme positif quelque soit $$n$$, on obtient :
$$\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
La situation qui correspond au cas $$k = 0$$ conduit à $$\ln \left( 1+\dfrac{0}{n} \right) = \ln(1) = 0$$. Ainsi le fait de débuter la somme à partir de la valeur $$k=0$$ ne modifie pas la valeur de cette somme. Donc, on a :
$$\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Afin de terminer la sommation à l'indice $$n-1$$, excluons de l'écriture de cette somme le cas $$k = n$$ qui correspond au terme $$\ln \left( 1+\dfrac{n}{n} \right) = \ln \left( 1+1 \right) = \ln(2)$$. Ce qui nous donne :
$$\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{1}{n} \left( \ln(2) + \sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right) \right)$$
Soit encore :
$$\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{\ln(2)}{n} + \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$$
Par jeux d'écriture, on a également :
$$\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{\ln(2)}{n} + \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}}{n} \right)$$
Enfin, passons à la limite lorsque $$n \longrightarrow 0$$. On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{\ln(2)}{n} + \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}}{n} \right) \right)$$
On peut alors écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \ln(2) \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} + \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}}{n} \right) \right)$$
Comme $$\ln(2) \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = \ln(2) \times 0^+ = 0$$, on trouve alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}}{n} \right) \right)$$
On pose alors $$f : x \in [0 \,;\,1] \longrightarrow \ln(1+x)$$. on a donc :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left( {\color{blue}{0}} + k\dfrac{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}}{n} \right) \right)$$
On reconnait alors une somme de $$Riemann$$. Dès lors, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{1}{{\color{red}{1}}-{\color{blue}{0}}} \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx$$
Avec :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} \ln(1+x) \, dx$$
On pose alors $$X = 1+x$$ ce qui implique que $$\dfrac{dX}{dx} = \dfrac{d}{dx}(1+x) =1$$ ce qui implique que $$dX = dx$$. Puis, lorsque $$x = 0$$ alors $$X = 1$$ et lorsque $$x = 1$$ alors $$X = 2$$. On trouve alors que :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = \int_1^2 \ln(X) \, dX = \left[ X \ln(X) - X \right]_1^2 = 2 \ln(2) - 2 - \big( 1 \ln(1) - 1 \big) = 2 \ln(2) - 2 - \ln(1) + 1$$
Comme $$\ln(1) = 0$$ on trouve que :
$$\int_{\color{blue}{0}}^{\color{red}{1}} f(x) \, dx = 2 \ln(2) - 2 + 1 = 2 \ln(2) - 1$$
On a donc :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty}\ln \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = 2 \ln(2) - 1$$
En introduisant l'exponentielle, dans le but d'éliminer la présence du logarithme népérien, on a maintenant :
$$e^{\ln \left( \sqrt[n]{\frac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right)} = e^{2 \ln(2) - 1}$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} e^{\ln \left( \sqrt[n]{\frac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right)} = e^{2 \ln(2)} \times e^{-1}$$
Soit encore :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = e^{ \ln(2^2)} \times \dfrac{1}{e}$$
D'où :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = e^{ \ln(4)} \times \dfrac{1}{e}$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = 4 \times \dfrac{1}{e}$$
Ce qui nous donne donc :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt[n]{\dfrac{n ! C_{2n}^n}{n^n} }\right) = \dfrac{4}{e}$$
Finalement, la limite $$\ell$$ recherchée vaut :
$$\ell = \dfrac{4}{e}$$